WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Бо́рсука — У́лама — классическая теорема алгебраической топологии, утверждающая, что всякая непрерывная функция, отображающая ${\displaystyle n}$ -мерную сферу в ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство для некоторой пары диаметрально противоположных точек имеет общее значение.

Неформально утверждение известно как «теорема о температуре и давлении»: в любой момент времени на поверхности Земли (${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ) найдутся антиподальные точки с равной температурой и равным давлением^[1]; одномерный случай обычно иллюстрируют двумя диаметрально противоположными точками экватора (${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$ ) с равной температурой.

Формулировка

Для непрерывной функции ${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ , где ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$  — сфера в ${\displaystyle (n+1)}$ -мерном евклидовом пространстве, существуют такие две диаметрально противоположные точки ${\displaystyle a,-a\in \mathbb {S} ^{n}}$ , что ${\displaystyle f(a)=f(-a)}$ .

История

Впервые утверждение встречается у Лазаря Ароновича Люстерника и Льва Генриховича Шнирельмана в работе 1930 года^[2][3]. Первое доказательство опубликовал в 1933 году Кароль Борсук, в этой статье он утверждает, что формулировка принадлежит Станиславу Уламу.

Вариации и обобщения

• Эквивалентное утверждение — теорема об общем нуле: всякая нечётная (относительно диаметральной противоположности) непрерывная функция ${\displaystyle g:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ из ${\displaystyle n}$ -мерной сферы в ${\displaystyle n}$ -мерное евклидово пространство в одной из точек ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n}}$ обращается в нуль: ${\displaystyle g(a)=0}$ . Эквивалентность устанавливается введением для непрерывной функции ${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ нечётной функции ${\displaystyle g(x)=f(x)-f(-x)}$ . В одномерном случае теорема об общем нуле непосредственно следует из теоремы о промежуточном значении; общее доказательство использует изоморфизм Гуревича^[en] (алгебраико-топологический вариант), либо выводится из леммы Такера^[en] (комбинаторный вариант; лемма Такера при этом считается комбинаторным аналогом теоремы Борсука — Улама).

• Абрам Ильич Фет доказал это утверждение не только для соотношения антиподов, но и для произвольной инволюции ${\displaystyle n}$ -мерной сферы. А именно, для всякой непрерывной инволюции ${\displaystyle a\mapsto a^{*}}$ сферы ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ и любой непрерывной функции ${\displaystyle f:\mathbb {S} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ найдётся такая точка ${\displaystyle a\in \mathbb {S} ^{n}}$ , что ${\displaystyle f(a)=f(a^{*})}$ .

Примечания

Литература

• K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177—190.
• Borsuk-Ulam theorem implies the Brouwer fixed point theorem
• М. Крейн, А. Нудельман. Теорема Борсука — Улама, или кое-что о погоде, о дрессированной лошади и о двумерных полях // Квант. — 1983. — № 8. — С. 20—25.