WikiSort.ru - Не сортированное

Спектральная последовательность Лере

Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$  — топологические пространства, пусть

${\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)}$  — категории пучков абелевых групп на X и Y, соответственно и

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbf {Ab} }$  — категория абелевых групп.

Для непрерывного отображения

${\displaystyle f:X\to Y}$

существует (точный слева) функтор прямого образа

${\displaystyle f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)}$ .

Мы также имеем функторы глобальных сечений

${\displaystyle \Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} }$ ,

и

${\displaystyle \Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .}$

Тогда так как

${\displaystyle \Gamma _{Y}\circ f_{*}=\Gamma _{X}}$

и функторы ${\displaystyle f_{*}}$ и ${\displaystyle \Gamma _{Y}}$ удовлетворяют предположениям теоремы (так как функтор прямого образа имеет точный левый сопряжённый ${\displaystyle f^{-1}}$ , прямые образы инъективных пучков инъективны и, в частности, ацикличны для функтора глобальных сечений), спектральная последовательность принимает вид:

${\displaystyle H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implies H^{p+q}(X,{\mathcal {F}})}$

для пучка абелевых групп ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ , и это в точности спектральная последовательность Лере.

Спектральная последовательность локальных и глобальных Ext-ов

Существует спектральная последовательность, связывающая глобальный Ext и пучковый Ext: пусть F, G — пучки модулей над окольцованным пространством ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ ; например, схемой. Тогда

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=\operatorname {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G))\Rightarrow \operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).}$ ^[1]

Это частный случай спектральной последоватеьлности Гротендика: действительно,

${\displaystyle R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)}$ , ${\displaystyle R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,-)}$ и ${\displaystyle R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext} _{\mathcal {O}}^{n}(F,-)}$ .

Более того, ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)}$ переводит инъективные ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ -модули в вялые пучки,^[2] которые ${\displaystyle \Gamma (X,-)}$ -ацикличны. Следовательно, предположения удовлетворяются.