Коммутативная геометрия
Пусть
— коммутативное кольцо и
—
-модуль. Существуют несколько эквивалентных определений связности на
.[2] Пусть
— модуль дифференцирований кольца
. Связность на
-модуле
определяется как морфизм
-модулей
-
такой что дифференциальные операторы первого порядка
на
удовлетворяют правилу Лейбница
-
Связность на модуле над коммутативным кольцом всегда существует. Кривизна связности
определяется как дифференциальный оператор нулевого порядка
-
На модуле
для всех
.
Если
— векторное расслоение, существует взаимно однозначное соответствие между линейными связностями
на
и связностями
на
-модуле сечений of
. При этом,
соответствует
ковариантному дифференциалу связности на
Некоммутативная геометрия
Если
— некоммутативное кольцо, связности на левых и правых
-модулях определяются так же, как и на модулях над коммутативным кольцом.[4] Однако такие связности не обязательно существуют.
В отличие от связностей на левых и правых модулях, проблема возникает с определением связности на
-бимодулях над некоммутативными кольцами
и
. Существуют различные определения таких связностей.[5] Приведем одно из них. Связность на
-бимодуле
определяется как морфизм бимодулей
-
который удовлетворяет правилу Лейбница
-
Примечания
- ↑ Koszul (1950)
- ↑ Koszul (1950), Mangiarotti
(2000)
- ↑ Bartocci (1991), Mangiarotti
(2000)
- ↑ Landi (1997)
- ↑ Dubois-Violette
(1996), Landi (1997)
Литература
- Koszul, J., Homologie et cohomologie des algebres de Lie, Bulletin de la Societe Mathematique 78 (1950) 65
- Koszul, J., Lectures on Fibre Bundles and Differential Geometry (Tata University, Bombay, 1960)
- Bartocci, C., Bruzzo, U., Hernandez Ruiperez, D., The Geometry of Supermanifolds (Kluwer Academic Publ., 1991) ISBN 0-7923-1440-9
- Dubois-Violette, M., Michor, P., Connections on central bimodules in noncommutative differential geometry, J. Geom. Phys. 20 (1996) 218. arXiv: q-alg/9503020v2
- Landi, G., An Introduction to Noncommutative Spaces and their Geometries, Lect. Notes Physics, New series m: Monographs, 51 (Springer, 1997) ArXiv eprint, iv+181 pages.
- Mangiarotti, L., Sardanashvily, G., Connections in Classical and Quantum Field Theory (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8
- Сарданашвили Г. А., Современные методы теории поля. 4. Геометрия и квантовые поля (УРСС, 2000) ISBN 5-88417-221-4.
Ссылки
- Sardanashvily, G., Lectures on Differential Geometry of Modules and Rings (Lambert Academic Publishing, Saarbrucken, 2012); arXiv: 0910.1515
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .