WikiSort.ru - Не сортированное

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 21 февраля 2017 года.

Пространством дифференцируемых функций (пространством гладких функций, пространством непрерывно дифференцируемых функций) в функциональном анализе называют пространство всех заданных на компактном множестве ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ гладких функций с порядком гладкости ${\displaystyle k}$ , где k — натуральное число (${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ ). Обозначения: ${\displaystyle C^{k}}$ , ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ . Все функции из ${\displaystyle C^{k}}$ обладают непрерывными производными вплоть до ${\displaystyle k}$ -го порядка включительно.

Пространством бесконечно-дифференцируемых функций (пространством бесконечно-гладких функций) называется множество всех определенных на компакте ${\displaystyle \Omega \subset R^{n}}$ функций, имеющих производные всех порядков. Обозначения: ${\displaystyle C^{\infty },C^{\infty }(\Omega )}$

Для любого ${\displaystyle k}$ пространство ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$ содержит в себе пространство ${\displaystyle C^{k+p}(\Omega ),\forall p\in \mathbb {N} }$ , а также пространство ${\displaystyle C^{\infty }(\Omega )}$ в качестве своего подмножества: ${\displaystyle C^{1}\supset C^{2}\supset ...\supset C^{\infty }}$ .

Свойства пространств ${\displaystyle C^{k}(\Omega )}$

• ${\displaystyle \forall k,C(\Omega )\supset C^{k}(\Omega )}$ , где ${\displaystyle C(\Omega )}$  — пространство непрерывных функций.
• ${\displaystyle \forall k,C^{k}(\Omega )}$  — банахово пространство. Норма в этом пространстве: ${\displaystyle \forall f\in C^{k}(\Omega ):\|f\|_{C^{k}}=\sum \limits _{l=0}^{k}\max _{x\in \Omega }|f^{l}(x)|}$ , где ${\displaystyle f^{0}(x)=f(x)}$ .

Также эту норму можно записать в виде ${\displaystyle \|f\|_{C^{k}}=\sum \limits _{l=0}^{k}\|f^{(l)}\|_{C}}$

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Установить ссылки из других статей Википедии. Связать? Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).