WikiSort.ru - Не сортированное

В математическом анализе предельные теоремы Сегё описывают асимптотическое поведение детерминантов больших теплицевых матриц.^[1] Впервые формулы были доказаны Габором Сегё^[en].

Обозначения

Пусть φ : T→C — функция, заданная на единичной окружности комплексной плоскости. Рассмотрим Теплицеву матрицу T_n(φ) размера n×n , определяемую как

${\displaystyle T_{n}(\phi )_{k,l}={\widehat {\phi }}_{k-l},\quad 0\leq k,l\leq n-1,}$

где

${\displaystyle {\widehat {\phi }}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\phi (e^{i\theta })e^{-ik\theta }\,d\theta }$

являются коэффициентами Фурье функции φ.

Первая теорема Сегё

Первая теорема Сегё^[1][2] утверждает, что при φ > 0 и φ ∈ L₁(T) справедливо

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{\det T_{n-1}(\phi )}}=\exp \left\{{\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\log \phi (e^{i\theta })\,d\theta \right\}.}$

Правая часть является геометрическим средним функции φ (которое определено в силу соотношения между геометрическим и арифметическим средними); обозначим его через G(φ).

Вторая теорема Сегё

Вторая (строгая) теорема Сегё^[1][3] утверждает, что если дополнительно потребовать, чтобы производная φ была гельдеровой функцией порядка α > 0, то справедливо

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\det T_{n}(\phi )}{G^{n}(\phi )}}=\exp \left\{\sum _{k=1}^{\infty }k\left|{\widehat {(\log \phi )}}(k)\right|^{2}\right\}.}$

Примечания