Пра́вило резолю́ций — это правило вывода, восходящее к методу доказательства теорем через поиск противоречий; используется в логике высказываний и логике первого порядка. Правило резолюций, применяемое последовательно для списка резольвент, позволяет ответить на вопрос, существует ли в исходном множестве логических выражений противоречие. Правило резолюций предложено в 1930 году в докторской диссертации Жака Эрбрана для доказательства теорем в формальных системах первого порядка. Правило разработано Джоном Аланом Робинсоном в 1965 году.
Алгоритмы доказательства выводимости , построенные на основе этого метода, применяются во многих системах искусственного интеллекта, а также являются фундаментом, на котором построен язык логического программирования «Пролог».
Пусть и — два предложения в исчислении высказываний, и пусть , а , где — пропозициональная переменная, а и — любые предложения (в частности, может быть, пустые или состоящие только из одного литерала).
Правило вывода
называется правилом резолюций.[1]
Предложения C1 и C2 называются резольвируемыми (или родительскими), предложение — резольвентой, а формулы и — контрарными литералами. В общем в правиле резолюции берутся два выражения и вырабатывается новое выражение, содержащее все литералы двух первоначальных выражений, за исключением двух взаимно обратных литералов.
Доказательство теорем сводится к доказательству того, что некоторая формула (гипотеза теоремы) является логическим следствием множества формул (допущений). То есть сама теорема может быть сформулирована следующим образом: «если истинны, то истинна и ».
Для доказательства того, что формула
является логическим следствием множества формул
, метод резолюций применяется следующим образом. Сначала составляется множество формул
. Затем каждая из этих формул приводится к КНФ (конъюнкция дизъюнктов) и в полученных формулах зачеркиваются знаки конъюнкции. Получается множество дизъюнктов
. И, наконец, ищется вывод пустого дизъюнкта из
. Если пустой дизъюнкт выводим из
, то формула
является логическим следствием формул
. Если из
нельзя вывести #, то
не является логическим следствием формул
. Такой метод доказательства теорем называется методом резолюций.
Рассмотрим пример доказательства методом резолюций. Пусть у нас есть следующие утверждения:
Докажем утверждение «яблоко вкусное». Введем множество формул, описывающих простые высказывания, соответствующие вышеприведенным утверждениям. Пусть
Тогда сами утверждения можно записать в виде сложных формул:
Тогда утверждение, которое надо доказать, выражается формулой X3.
Итак, докажем, что X3 является логическим следствием
и
. Сначала составляем множество формул с отрицанием доказываемого высказывания; получаем:
Теперь приводим все формулы к конъюнктивной нормальной форме и зачеркиваем конъюнкции. Получаем следующее множество дизъюнктов:
Далее ищем вывод пустого дизъюнкта.
Применяем к первому и третьему дизъюнктам правило резолюции:
Применяем к четвёртому и пятому дизъюнктам правило резолюции:
Таким образом пустой дизъюнкт выведен, следовательно выражение с отрицанием высказывания опровергнуто, следовательно само высказывание доказано.
Правило резолюции обладает свойством полноты в том смысле, что с помощью него всегда можно вывести из пустой дизъюнкт #, если исходное множество дизъюнктов является противоречивым.
Отношение выводимости (из-за конечности вывода) является компактным: если , то существует такое конечное подмножество , что . Поэтому предварительно нужно доказать, что отношение невыполнимости является компактным.
Лемма. Если каждое конечное подмножество имеет выполняющую оценку, то имеется выполняющая оценка для всего множества дизъюнктов .
Доказательство. Предположим, что в встречаются дизъюнкты, использующие счетное множество пропозициональных переменных . Построим бесконечное двоичное дерево, где из каждой вершины на высоте выходят два ребра, помеченное литералами и соответственно. Удалим из этого дерева те вершины, литералы по пути в которые образуют оценку, противоречащую хотя бы одному дизъюнкту .
Для каждого рассмотрим конечное подмножество , состоящее из дизъюнктов, не содержащих переменных . По условию леммы найдется такая оценка переменных (или путь до вершины на уровне обрезаном дереве), что она выполняет все дизъюнты из . Значит, обрезанное дерево бесконечно (то есть содержит бесконечное множество вершин). По лемме Кёнига о бесконечном пути обрезанное дерево содержит бесконечную ветвь. Этой ветви соответствует оценка всех переменных , которая делает истинными все дизъюнкты из . Что и требовалось.
Теорема. Множество дизъюнктов S противоречиво тогда и только тогда, когда существует опровержение в S (или из S).
Доказательство. Необходимость (корректность метода резолюций) очевидна, так как пустой дизъюнкт не может быть истинен ни при какой оценке. Приведём доказательство достаточности. По лемме о компактности достаточно ограничиться случаем конечного числа пропозициональных переменных. Проводим индукцию по числу пропозициональных переменных , встречающихся хотя бы в одном дизъюнкте из . Пусть теорема полноты верна при , докажем её истинность при . Другими словами, покажем, что из любого противоречивого множества дизъюнктов, в котором встречаются пропозициональные переменные , можно вывести пустой дизъюнкт.
Выберем любую из пропозициональных переменных, например, . Построим по два множества дизъюнктов и . В множество поместим те дизъюнкты из , в которых не встречается литерал , причем из каждого такого дизъюнкта удалим литерал (если он там встречается). Аналогично, множество содержит остатки дизъюнктов , в которых не встречается литерал , после удаления литерала (если он в них встречается).
Утверждается, что каждое из множеств дизъюнктов и является противоречивым, то есть не имеет выполняющей все дизъюнкты одновременно оценки. Это верно потому, что из оценки , выполняющей все дизъюнкты множества одновременно, можно построить оценку , одновременно выполняющей все дизъюнкты множества . То, что эта оценка выполняет все опущенные при переходе от к дизъюнкты, очевидно, ибо эти дизъюнкты содержат литерал . Остальные дизъюнкты выполняются по предположению, что оценка выполняет все дизъюнкты множества , а, значит, и все расширенные (путём добавления выброшенного литерала ). Аналогично, из оценки , выполняющей все дизъюнкты множества одновременно, можно построить оценку , одновременно выполняющей все дизъюнкты множества .
По предположению индукции из противоречивых множеств дизъюнктов и (так как в каждом из них встречаются только пропозициональных переменных ) имеются выводы пустого дизъюнкта. Если мы восстановим опущенный литерал для дизъюнктов множества в каждом вхождении вывода пустого дизъюнкта, то получим вывод дизъюнкта, состоящего из одного литерала . Аналогично из вывода пустого дизъюнкта из противоречивого множества получаем вывод дизъюнкта, состоящего из одного литерала . Осталось один раз применить правило резолюции, чтобы получить пустой дизъюнкт. Что и требовалось доказать.
Пусть C1 и C2 — два предложения в исчислении предикатов.
Правило вывода
называется правилом резолюции в исчислении предикатов, если в предложениях C1 и C2 существуют унифицированные контрарные литералы P1 и P2, то есть , а , причём атомарные формулы P1 и P2 являются унифицируемыми наиболее общим унификатором .
В этом случае резольвентой предложений C1 и C2 является предложение , полученное из предложения применением унификатора .[2]
Однако вследствие неразрешимости логики предикатов первого порядка для выполнимого (непротиворечивого) множества дизъюнктов процедура, основанная на принципе резолюции, может работать бесконечно долго.
Обычно резолюция применяется в логическом программировании в совокупности с прямым или обратным методом рассуждения. Прямой метод (от посылок) из посылок А, В выводит заключение В (правило modus ponens). Основной недостаток прямого метода рассуждения состоит в его ненаправленности: повторные применения метода обычно приводят к резкому росту промежуточных заключений, не связанных с целевым заключением.
Обратный метод (от цели) является направленным: из желаемого заключения В и тех же посылок он выводит новое подцелевое заключение А. Каждый шаг вывода в этом случае всегда связан с первоначально поставленной целью.
Существенный недостаток принципа резолюции заключается в формировании на каждом шаге вывода множества резольвент — новых дизъюнктов, большинство из которых оказываются лишними. В связи с этим разработаны различные модификации принципа резолюции, использующие более эффективные стратегии поиска и различного рода ограничения на вид исходных дизъюнктов.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .