WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебра поличисел ${\displaystyle P_{n}}$ реализуется элементами ${\displaystyle A\in P_{n}}$ вида:

${\displaystyle A=A_{1}e_{1}+\dots +A_{n}e_{n},}$

где ${\displaystyle A_{i}\in \mathbb {R} ,\quad {e_{i}}}$  — набор образующих ${\displaystyle P_{n}}$ , подчиняющихся следующим правилам умножения (умножение коммутативно и ассоциативно):

${\displaystyle e_{i}e_{j}=0\quad (i\neq j),\quad e_{i}^{2}=e_{i},}$

итак (прямая сумма):

${\displaystyle P_{n}{\overset {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\underbrace {\mathbb {R} \oplus \mathbb {R} \oplus \cdots \oplus \mathbb {R} } _{n}=\bigoplus ^{n}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{n}.}$

Поличисла (n-числа)

Нетрудно проверить, что умножение в алгебре поличисел в выбранном базисе сводится к умножению соответствующих компонент, а деление определено только для поличисел, у которых все ${\displaystyle A_{i}\neq 0}$ (по этой причине поличисла не образуют числового поля). Алгебраическая единица имеет в выбранном базисе следующее представление:

${\displaystyle I=e_{1}+\dots +e_{n}}$ .

На алгебре ${\displaystyle P_{n}}$ существует n-1 операция комплексного сопряжения. Одну из них можно определить следующим правилом:

${\displaystyle A^{(1)}=A^{\ast }=A_{n}e_{1}+A_{1}e_{2}+\dots +A_{n-1}e_{n}}$ ,

которое сводится к циклической перестановке компонент поличисла ${\displaystyle A}$ . k-ое комплексное сопряжение можно определить формулой:

${\displaystyle A^{(k)}=A^{k(1)}=((A^{\ast })^{\ast })^{\dots })^{\ast }\quad }$ (${\displaystyle k}$  — раз)

Очевидно, что ${\displaystyle A^{(n)}=A}$ .

Рассмотрим поличисло вида

${\displaystyle N(A)=AA^{(1)}A^{(2)}\dots A^{(n-1)},}$
 (1)

где ${\displaystyle A\in P_{n}}$ .

Нетрудно проверить, что ${\displaystyle N(A)}$ вещественно в том смысле, что

${\displaystyle N(A)=r^{n}I,}$ где ${\displaystyle r^{n}\in R}$ .

Число ${\displaystyle r}$ называется (квази)нормой поличисла ${\displaystyle A}$ . Квазинорма ${\displaystyle r}$ выражается через координаты поличисла ${\displaystyle A}$ по формуле :

${\displaystyle r^{n}=A_{1}A_{2}\dots A_{n}=G(A,A,\dots ,A)}$
,       (2)

где ${\displaystyle G}$  — n-форма

${\displaystyle G={\hat {S}}\left(dx^{1}\otimes \cdots \otimes dx^{n}\right)}$
,             (3)

${\displaystyle {\hat {S}}}$  — оператор симметризации. Эта форма является (финслеровой) метрикой в пространствах Бервальда — Моора. Формулы (1)-(3) проясняют связь алгебры поличисел с пространствами Бервальда — Моора: метрическая n-форма (3) индуцирована вещественной алгебраической формой ${\displaystyle N(A)}$ , являющейся многомерным аналогом евклидовой квадратичной формы ${\displaystyle |z|^{2}=zz^{\ast }}$ на комплексной плоскости.

По аналогии с комплексной билинейной формой:

${\displaystyle (\zeta ,\xi )=\mathrm {Re} (\zeta \xi )}$ ,

где ${\displaystyle \zeta ,\xi \in \mathbb {C} }$ , можно рассмотреть n-линейную форму

${\displaystyle (A,B,\dots ,Z)={\text{Re}}(AB\dots Z)=\sum \limits _{\sigma (A,B,\dots ,Z)}AB^{(1)}C^{(2)}\dots Z^{(n-1)}=n!G(A,B,{\dots },Z).\quad }$
      (4)

Здесь суммирование производится по множеству ${\displaystyle \sigma (A,B,{\dots },Z)}$ всех перестановок элементов ${\displaystyle A,B,{\dots },Z\in P_{n}}$ . Последний знак равенства в (4) (он устанавливается непосредственной проверкой) также выявляет генетическую связь алгебр поличисел и геометрий соответствующих пространств Бервальда — Моора.

Можно показать, что описанная выше алгебра поличисел ${\displaystyle P_{n}}$ является прямой суммой ${\displaystyle n}$ экземпляров алгебры вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Среди всех ассоциативно-коммутативных алгебр она, в определенном смысле, максимально симметрична (содержит ${\displaystyle n}$ гиперболических мнимых единиц). Более общей конструкцией будет поличисловая алгебра ${\displaystyle P_{n,m},}$ представляющая собой прямую сумму ${\displaystyle n}$ экземпляров алгебры вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle m}$ экземпляров алгебры комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ^[1].

Примечания

Литература

• И. Л. Кантор, А. С. Солодовников. Гиперкомплексные числа. М.: Наука, 1973, с.138-140
• М. А. Лаврентьев, Б. О. Шабат. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1977.
• Г. И. Гарасько. Начала финслеровой геометрии для физиков. М.: Тетру, 2009.
• С. С. Кокарев. Лекции по финслеровой геометрии и гиперкомплексным числам. В сб. научных трудов РНОЦ «Логос», вып. 5, Ярославль (2010), с.19-121

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.