WikiSort.ru - Не сортированное

Поверхности типа S⁰

Пусть ${\displaystyle \phi }$ будет целочисленной 3 × 3 матрицей с двумя комплексными собственными значениями ${\displaystyle \alpha ,{\bar {\alpha }}}$ и вещественным собственным значением c>1, при этом ${\displaystyle |\alpha |^{2}c=1}$ . Тогда ${\displaystyle \phi }$ обратима в целых числах и определяет действие группы ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ целых чисел на ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{3}}$ . Пусть ${\displaystyle \Gamma :={\mathbb {Z} }^{3}\rtimes {\mathbb {Z} }}$ . Эта группа является решёткой в разрешимой группе Ли

${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }=({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })\rtimes {\mathbb {R} }}$ ,

действующей на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }}$ , при этом группа действует на ${\displaystyle ({\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} })}$ -часть путём переносов, а на ${\displaystyle \rtimes {\mathbb {R} }}$ -часть как ${\displaystyle (z,r)\mapsto (\alpha ^{t}z,c^{t}r)}$ .

Мы расширяем это действие на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}}$ , положив ${\displaystyle v\mapsto e^{\log ct}v}$ , где t — параметр ${\displaystyle \rtimes {\mathbb {R} }}$ -части группы ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}\rtimes {\mathbb {R} }}$ . Действие тривиально на факторе ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ по ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$ . Это действие заведомо голоморфно и фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma }$ называется поверхностью Иноуэ типа S⁰.

Поверхность Иноуэ S⁰ определяется выбором целочисленной матрицы ${\displaystyle \phi }$ , с вышеуказанными ограничениями. Существует счётное количество таких поверхностей.

Поверхности типа S⁺

Пусть n — положительное целое число, а ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ — группа верхних треугольных матриц

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&x&{\frac {z}{n}}\\0&1&y\\0&0&1\end{bmatrix}},}$ ,

где x, y, z — целые числа. Рассмотрим автоморфизм ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ , который обозначим ${\displaystyle \phi }$ . Фактор группы ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ по её центру C — это ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2}}$ . Предположим, что ${\displaystyle \phi }$ действует на ${\displaystyle \Lambda _{n}/C={\mathbb {Z} }^{2}}$ как матрица с двумя положительными вещественными собственными значениями a, b, при этом ab = 1.

Рассмотрим разрешимую группу ${\displaystyle \Gamma _{n}:=\Lambda _{n}\rtimes {\mathbb {Z} }}$ , с ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ , действующей на ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ , как ${\displaystyle \phi }$ . Отождествляя группу верхних треугольных матриц с ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}}$ , мы получим действие ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{3}={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }}$ . Определим действие ${\displaystyle \Gamma _{n}}$ на ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H={\mathbb {C} }\times {\mathbb {R} }\times {\mathbb {R} }^{>0}}$ с ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ действующим тривиально на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{>0}}$ -часть и ${\displaystyle {\mathbb {Z} }}$ действует как ${\displaystyle v\mapsto e^{t\log b}v}$ . Те же аргументы, что и для поверхностей Иноуэ типа ${\displaystyle S^{0}}$ , показывают, что это действие голоморфно. Фактор ${\displaystyle {\mathbb {C} }\times H/\Gamma _{n}}$ называется поверхностью Иноуэ типа ${\displaystyle S^{+}}$ .

Поверхности типа S⁻

Поверхности Иноуэ типа ${\displaystyle S^{-}}$ определяются тем же способом, что и S⁺, однако два собственных значения a, b автоморфизма ${\displaystyle \phi }$ , действующего на ${\displaystyle {\mathbb {Z} }^{2}}$ , имеют противоположные знаки и выполняется равенство ab = −1. Поскольку квадрат такого эндоморфизма определяет поверхность Иноуэ типа S⁺, поверхность Иноуэ типа S⁻ имеет неразветвлённое двойное покрытие типа S⁺.