В математике плотным графом называется граф, в котором число рёбер близко к максимальному. Граф с противоположным свойством, имеющий малое число рёбер, называется разреженным графом. Разница между разреженным и плотным графом расплывчата и зависит от контекста.
Для неориентированного простого графа (рёберная)[1] плотность графа определяется как
Максимальное число рёбер равно ½ |V| (|V|−1), так что максимальная плотность равна 1 (для полных графов) и минимальная равна 0[2].
Верхняя плотность — это расширение понятия плотности графа с конечных графов на бесконечные. Интуитивно понятно, что бесконечный граф имеет произвольно большие конечные подграфы с любой плотностью, меньшей верхней плотности, и не имеет произвольно больших конечных подграфов с плотностью, большей верхней плотности. Формально, верхняя плотность графа G — это нижняя грань таких значений α, что конечные подграфы графа G с плотностью больше α имеют ограниченный порядок. Используя теорему Эрдёша — Стоуна[en] можно показать, что верхняя плотность может быть только 1 или одним из значений последовательности 0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... n/(n + 1), ... (см, например, Дистель. Упражнения к главе 7[1]).
Штрейну[3] и Теран[4] определяют граф как (k,l)-разреженный, если любой непустой подграф с n вершинами имеет максимум kn − l рёбер, и как (k,l)-тугой, если он (k,l)-разреженный и имеет в точности kn − l рёбер. Таким образом деревья в точности (1,1)-тугие графы, леса – в точности (1,1)-разреженные графы, а графы с древесностью[en] k — в точности (k,k)-разреженные графы. Псевдолеса[en] — это в точности (1,0)-разреженные графы, а Ламановы графы, появляющиеся в теории жёсткости[en], это в точности (2,3)-тугие графы.
Другие семейства графов также могут быть описаны подобным образом. Например, из того, что любой планарный граф с n вершинами имеет максимум 3n - 6 ребра, и что любой подграф планарного графа является планарным вытекает, что планарные графы являются (3,6)-разреженными графами. Однако не всякий (3,6)-разреженный граф будет планарным. Аналогично, внешнепланарные графы являются (2,3)-разреженными и планарные двудольные графы являются (2,4)-разреженными.
Штрейну и Теран показали, что проверка является ли граф (k,l)-разреженным, может быть выполнена за полиномиальное время.
Оссона и Нешетрил[5] полагают, что при делении на разреженные/плотные графы необходимо рассматривать бесконечные классы графов, а не отдельных представителей. Они определили местами плотные классы графов как классы, для которых существует такой порог t, что любой полный граф появляется как t-подраздел в подграфе графов класса. И наоборот, если такой порог не существует, класс называется нигде не плотным. Свойства деления на местами плотные/нигде не плотные обсуждается в статье Оссона и Нешетрил[6].
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .