Лама́нов граф — граф из семейства разреженных графов, описывающий минимальные жёсткие системы[en] отрезков и шарниров на плоскости. Формально — ламанов граф с вершинами — это такой граф , что, во-первых, для каждого любой подграф графа , содержащий вершин, имеет не более, чем ребра и, во-вторых, сам граф имеет ровно ребра.
Названы в честь профессора Амстердамского университета Герарда Ламана, который использовал их в 1970 году для описания плоских жёстких структур[1].
Ламановы графы возникают в теории жёсткости[en] следующим образом: если разместить вершины Ламанова графа на евклидовой плоскости так, чтобы они находились в общем положении и двигать вершины так, чтобы длины всех рёбер оставались неизменными, то это движение с необходимостью будет евклидовой изометрией. Более того, любой минимальный граф, обладающий таким свойством, с необходимостью является Ламановым. С интуитивной точки зрения понятно, что каждое ребро графа уменьшает степень свободы соответствующей ему шарнирно-стержневой системы на единицу. Поэтому 2n −3 рёбер в Ламановом графе уменьшают 2n степеней свободы системы из n вершин до трёх, что соответствует изометрическому преобразованию плоскости. Граф является жёстким в этом смысле тогда и только тогда, когда он содержит Ламанов подграф, содержащий все вершины графа. Таким образом, Ламановы графы являются минимальными жёсткими графами и формируют базис двухмерных матроидов жёсткости[en].
Если заданы n точек плоскости, существует 2n степени свободы в их расположении (каждая точка имеет две независимые координаты), но жёсткий граф имеет только три степени свободы (расположение одной точки и поворот вокруг этой точки). Интуитивно ясно, что добавление ребра фиксированной длины в граф сокращает степень свободы на единицу так, что 2n − 3 рёбер Ламанова графа уменьшает 2n степеней свободы начального расположения до трёх степеней свободы жёсткого графа. Однако не всякий граф с 2n − 3 рёбрами является жёстким. Условие в определении Ламанова графа, что никакой подграф не содержит слишком много рёбер, гарантирует, что каждое ребро реально вносит свой вклад в общее уменьшение степени свободы, а не является частью подграфа, который уже является жёстким благодаря другим своим рёбрам.
Ламановы графы связаны также с понятием псевдотриангуляции[en]. Известно, что каждая псевдотриангуляция является Ламановым графом и наоборот, каждый плоский Ламанов граф может быть реализован как псевдотриангуляция.[2] Однако следует иметь в виду, что имеются непланарные Ламановы графы, например, полный двудольный граф .
Штрейну и Теран[3] определяют граф как -разреженный, если любой непустой подграф с вершинами имеет максимум рёбер, и -плотный, если он -разреженный и имеет в точности рёбер. Таким образом, в этой нотации, Ламановы графы — это в точности (2,3)-плотные графы, и подграфы Ламановых графов — это в точности (2,3)-разреженные графы. Ту же самую нотацию можно использовать для описания других важных семейств разреженных графов, включая деревья, псевдолеса и графы с ограниченной древесностью[en].[3]
Задолго до работы Ламана, Лебрехт Хеннеберг (Lebrecht Henneberg) описал двухмерные минимальные жёсткие графы (то есть, графы Ламана) различными способами[4]. Хенненберг показал, что минимальные жёсткие графы с двумя и более вершинами — это в точности графы, которые можно получить, начав с единичного ребра, используя операции двух видов:
Последовательность таких операций, которая формирует заданный граф, называется построением Хенненберга. Например, полный двудольный граф может быть построен сначала применением трижды первой операции для построения треугольников, а затем применением двух операций типа два для разбиения двух сторон треугольника.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .