WikiSort.ru - Не сортированное

Схожие утверждения

Раннее утверждение, подобное парадоксу лжеца, приписывают полумифическому древнегреческому философу VII века до н. э. Эпимениду:

Эпименид: все критяне лжецы.

Поскольку Эпименид — критянин, утверждение схоже с парадоксом лжеца. Вопрос в том, каково отрицание высказывания «критяне всегда лгут»: если это «критяне никогда не лгут», то парадокс имеет место; если же «критяне не всегда лгут», как обычно считается в логике, то высказывание Эпименида просто ложно и никакого парадокса нет.

Этот парадокс даётся в Новом Завете у апостола Павла в Тит. 1:12-13

Из них же самих один стихотворец сказал: «Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые». Свидетельство это справедливо….

Античность

Сам парадокс лжеца был известен в Древней Греции IV века до н. э. Евбулид Милетский включил его в список своих семи софизмов в следующей формулировке^[2]:

Человек говорит, что он лжёт. То, что он говорит — истина или ложь?

Надпись на могиле Филита на острове Кос гласит^[2]:

О странник! Я Филит Косский,

И это лжец привёл к моей смерти,

И бессонные ночи из-за него.

Последователь Аристотеля Теофраст написал о парадоксе три папируса, а ранний стоик Хрисипп — шесть, но до нас они не дошли^[2].

Средние века

Средневековый философ Жан Буридан использовал парадокс для доказательства бытия Бога. Он рассматривал два утверждения:

Бог существует.

Ни одно из этих двух утверждений не является истинным.

Если первое утверждение ложно, то получается парадокс, а потому, по мнению Буридана, оно должно быть истинно^[2].

Классический парадокс

Рассмотрим следующее утверждение:

${\displaystyle FLiar}$ : Утверждение ${\displaystyle FLiar}$ ложно.

Если утверждение ${\displaystyle FLiar}$ истинно, то утверждение ${\displaystyle FLiar}$ ложно, противоречие. Если же оно ложно, то утверждение ${\displaystyle FLiar}$ не ложно, а значит истинно, противоречие. Последний шаг опирается на закон исключённого третьего, гласящий, что любое логическое утверждение или истинно, или ложно. Естественное решение — отрицание закона исключённого третьего — не работает в других вариантах парадокса лжеца^[3].

Закон исключённого третьего

Рассмотрим следующее утверждение:

${\displaystyle ULiar}$ : Утверждение ${\displaystyle ULiar}$ не является истинным.

Если утверждение ${\displaystyle ULiar}$ истинно, то утверждение ${\displaystyle ULiar}$ не истинно, противоречие. Если же оно не истинно, то утверждение ${\displaystyle FLiar}$ истинно, противоречие. Такой вариант не использует закон исключённого третьего, тем не менее, утверждение ссылается само на себя^[4].

Другая формулировка предполагает, что третий вариант, отличный от истинности или ложности — это бессмысленность^[5]:

${\displaystyle MLiar}$ : Утверждение ${\displaystyle MLiar}$ ложно или бессмысленно.

Логический цикл

Рассмотрим следующие утверждения:

${\displaystyle Plato}$ : Утверждение ${\displaystyle Socrates}$ ложно.

${\displaystyle Socrates}$ : Утверждение ${\displaystyle Plato}$ истинно.

Если ${\displaystyle Plato}$ истинно, то ${\displaystyle Socrates}$ ложно и ${\displaystyle Plato}$ не истинно, противоречие. Если ${\displaystyle Plato}$ ложно, то ${\displaystyle Socrates}$ не ложно и ${\displaystyle Plato}$ истинно, противоречие. Исправление ложности на неистинность и исправляет необходимость закона исключённого третьего аналогично предыдущему примеру. Такой вариант не использует отсылки утверждения к самому себе^[6].

Возможны и циклы большей длины, например, такой:

${\displaystyle A}$ : Утверждение ${\displaystyle B}$ ложно.

${\displaystyle B}$ : Утверждение ${\displaystyle C}$ ложно.

${\displaystyle C}$ : Утверждение ${\displaystyle A}$ ложно.

Парадокс Карри

Сначала рассмотрим следующее утверждение:

${\displaystyle DLiar}$ : Утверждение ${\displaystyle DLiar}$ не является истинным или ${\displaystyle 1=0}$

Поскольку ложное утверждение ${\displaystyle 1=0}$ не влияет на истинность ${\displaystyle DLiar}$ , получаем противоречие аналогично классическому парадоксу лжеца^[7].

Теперь рассмотрим похожее утверждение:

${\displaystyle Curry}$ : Если утверждение ${\displaystyle Curry}$ верно, то русалки существуют.

Это утверждение, называющееся парадоксом Карри, почти не отличается от предыдущего. Во-первых, одно ложное утверждение (${\displaystyle 1=0}$ ) заменено на другое (русалки существуют). Во-вторых, логическая функция «(не ${\displaystyle A}$ ) или ${\displaystyle B}$ » заменена на функцию «из ${\displaystyle A}$ следует ${\displaystyle B}$ », при том что значения пары переменных ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , при которых функция принимает значение истина, остались неизменны. Однако при этом появилась видимая на первый взгляд привязка к реальному миру^[7].

Парадокс Ябло

Рассмотрим следующую бесконечную последовательность утверждений:

${\displaystyle Yablo_{1}}$ : Все утверждения ${\displaystyle Yablo_{i}}$ при ${\displaystyle i>1}$ являются ложными.

${\displaystyle Yablo_{2}}$ : Все утверждения ${\displaystyle Yablo_{i}}$ при ${\displaystyle i>2}$ являются ложными.

${\displaystyle Yablo_{3}}$ : Все утверждения ${\displaystyle Yablo_{i}}$ при ${\displaystyle i>3}$ являются ложными.

${\displaystyle \ldots }$

Если ${\displaystyle Yablo_{1}}$ истинно, то ложны все ${\displaystyle Yablo_{i}}$ при ${\displaystyle i>1}$ и, в частности, ложно ${\displaystyle Yablo_{2}}$ . Значит, существует такое ${\displaystyle i>2}$ , что ${\displaystyle Yablo_{k}}$ истинно, противоречие. Если ${\displaystyle Yablo_{1}}$ ложно, то существует истинное ${\displaystyle Yablo_{i}}$ при ${\displaystyle i>1}$ , а потому получаем противоречие аналогично первому случаю^[8].

Эта бесконечная цепочка утверждений, называемая парадоксом Ябло, на первый взгляд не содержит отсылки на саму себя, хотя по этому поводу ведутся научные дискуссии^[8].

Парадокс Пиноккио

У Пиноккио имелось свойство: когда он лгал (говорил неправду), его нос тут же заметно увеличивался.

Что будет, если Пиноккио скажет: «Сейчас у меня удлинится нос»?

Если нос не увеличится — значит, мальчик соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, мальчик сказал правду, но тогда почему вырос нос?