WikiSort.ru - Не сортированное

Кривая ${\displaystyle \gamma }$ называется огиба́ющей семейства кривых ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$ , зависящих от параметра ${\displaystyle \alpha }$ , если она в каждой своей точке касается хотя бы одной кривой семейства и каждым своим отрезком касается бесконечного множества этих кривых.

Определение

Пусть имеется семейство кривых ${\displaystyle \gamma _{\alpha }}$ , зависящих от параметра ${\displaystyle \alpha }$ и задающихся уравнением: ${\displaystyle F(\alpha ,x,y)=0}$ . Тогда огибающая семейства кривых определяется как множество точек ${\displaystyle (x,y)}$ , для которых существует значение ${\displaystyle \alpha }$ , для которого выполнено оба равенства:

${\displaystyle F(\alpha ,x,y)={\partial F \over \partial \alpha }(\alpha ,x,y)=0,}$

где ${\displaystyle {\tfrac {\partial F}{\partial \alpha }}}$ — частная производная функции ${\displaystyle F}$ по параметру ${\displaystyle \alpha }$ .

Примеры

• Для семейства окружностей одинакового радиуса с центрами на прямой огибающая состоит из двух параллельных прямых.
• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Парабола является огибающей семейства срединных перпендикуляров для отрезков, соединяющих фиксированную точку (фокус параболы) и фиксированную прямую (директрису параболы).

См. также

• Двойственная кривая

Литература

В Викисловаре есть статья «огибающая»

• Залгаллер В. А.  Теория огибающих. — М.: Наука, 1975. — 104 с.