WikiSort.ru - Не сортированное

Неравенство треугольника Ружа связывает все попарные разности по Минковскому трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle (G,+)}$ — группа и ${\displaystyle U,V,W\subset G}$ .

Тогда ${\displaystyle |U|\cdot |V-W|\leq |V-U|\cdot |U-W|}$ , где ${\displaystyle A-B=\left\lbrace {a-b:a\in A,b\in B}\right\rbrace }$ .

Доказательство

Рассмотрим функцию ${\displaystyle \varphi :(V-U)\times (U-W)\to (V-W)}$ , определяемую как ${\displaystyle \varphi (x,y)=x+y}$ . Тогда для каждого образа ${\displaystyle v-w\in V-W}$ существует не менее ${\displaystyle |U|}$ различных прообразов вида ${\displaystyle (v-u,u-w),u\in U}$ . Это означает, что общее число прообразов не меньше, чем ${\displaystyle |V-W||U|}$ . Значит, ${\displaystyle |U||V-W|\leq |V-U||U-W|}$

Аналогия с неравенством треугольника

Рассмотрим функцию^[2][3], определяющую "расстояние между множествами" в терминах разности Минковского:

${\displaystyle \rho (A,B)=\log {\frac {|A-B|}{\sqrt {|A|\cdot |B|}}}}$

Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство ${\displaystyle \rho (A,A)=0}$ , но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следует неравенство треугольника для неё:

${\displaystyle \rho (V,W)\leq \rho (V,U)+\rho (U,W)}$

Следствия

Подставив ${\displaystyle V=W=A,U=B}$ , получим

${\displaystyle |B|\cdot |A-A|\leq |A-B|^{2}}$

${\displaystyle |A-A|\leq \left({\frac {|A-B|}{|B|}}\right)\cdot |A-B|}$

${\displaystyle |A-B|\leq K\cdot |B|,K\in {\mathbb {R} }\Rightarrow |A-A|\leq K^{2}\cdot |B|}$

Подставив ${\displaystyle W=-W'}$ , получим

${\displaystyle |U|\cdot |V+W'|\leq |V-U|\cdot |U+W'|}$

Подставив ${\displaystyle U=-U'}$ , получим

${\displaystyle |U'|\cdot |V-W|\leq |V+U'|\cdot |U'+W|}$ .

См. также

• Неравенство Плюннеке — Ружа

Примечания