WikiSort.ru - Не сортированное

Экзогенная модель

При убывающей отдачи от капитала^[en], где ${\displaystyle \alpha +\beta <1}$ , модель является экзогенной.

Уравнение накопления капитала в интенсивной форме на эффективную единицу труда имеет вид^[4]:

${\displaystyle {\dot {k}}=s_{K}y_{t}-(n+g_{A})k_{t}}$ ,

${\displaystyle {\dot {h}}=s_{H}y_{t}-(n+g_{A})h_{t}}$ .

Каждое уравнение имеет устойчивое состояние при нулевом приросте^[4]:

${\displaystyle k_{t}=({\frac {s_{K}}{n+g_{A}}})^{\frac {1}{1-\alpha }}h_{t}^{\frac {\beta }{1-\alpha }}}$ ,

${\displaystyle h_{t}=({\frac {s_{H}}{n+g_{A}}})^{\frac {1}{1-\beta }}h_{t}^{\frac {\alpha }{1-\beta }}}$ .

Система уравнений локальна устойчива, имеет действительные корни и тип равновесия «устойчивый узел», который определяется методом линеаризации систем нелинейных дифференциальных уравнений или графическим анализом фазовых диаграмм, представленным на рисунке «Фазовая диаграмма модели Мэнкью-Ромера-Вейла» совместная динамика ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle h}$ ^[1].

На рисунке кривая ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$  — вторая производная ${\displaystyle k}$ по ${\displaystyle h}$ , имеющая отрицательный наклон, так как ${\displaystyle \beta <1-\alpha }$ , таким образом, правее от кривой ${\displaystyle {\dot {k}}=0}$ ${\displaystyle {\dot {k}}>0}$ , а левее ${\displaystyle {\dot {k}}<0}$ . На рисунке кривая ${\displaystyle {\dot {h}}=0}$  — вторая производная ${\displaystyle k}$ по ${\displaystyle h}$ , имеющая положительный наклон, так как ${\displaystyle 1-\beta >\alpha }$ , таким образом, сверху от кривой ${\displaystyle {\dot {h}}=0}$ ${\displaystyle {\dot {h}}>0}$ , а снизу ${\displaystyle {\dot {h}}<0}$ . В точке ${\displaystyle E}$ состояние глобальной устойчивости^[1].

Модель будет иметь устойчивое равновесие при отсутствии роста интенсивных переменных, то есть исключаются влияние роста населения и технологии (${\displaystyle g_{y}=g_{k}=g_{h}=g_{c}=0}$ ), а темпы прироста переменных на душу населения будут расти темпом, равным экзогенному темпу роста технологии (${\displaystyle g_{Y/L}=g_{K/L}=g_{H/L}=g_{C/L}=g_{A}}$ ), валовые объёмы переменных прирастают с темпом, равным сумме темпов прироста населения и технологии (${\displaystyle g_{Y}=g_{K}=g_{H}=g_{C}=g_{A}+n}$ )^[4].

В состоянии устойчивого равновесия ${\displaystyle {\dot {k}}={\dot {h}}=0}$ ^[1]:

${\displaystyle k={\frac {s_{K}^{\frac {1-\beta }{1-\alpha -\beta }}s_{H}^{\frac {\beta }{1-\alpha -\beta }}}{(n+g_{A}+\sigma )^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}}}$ ,

${\displaystyle h={\frac {s_{K}^{\frac {1-\alpha }{1-\alpha -\beta }}s_{H}^{\frac {\alpha }{1-\alpha -\beta }}}{(n+g_{A}+\sigma )^{\frac {1}{1-\alpha -\beta }}}}}$ ,

${\displaystyle y={\frac {s_{K}^{\frac {\alpha }{1-\alpha -\beta }}s_{H}^{\frac {\beta }{1-\alpha -\beta }}}{(n+g_{A}+\sigma )^{\frac {\alpha +\beta }{1-\alpha -\beta }}}}}$ .

Устойчивые уровни предельных продуктов двух видов капиталов^[4]:

${\displaystyle mpk=\alpha {\frac {n+g_{A}}{s_{K}}}}$ ,

${\displaystyle mph=\beta {\frac {n+g_{A}}{s_{H}}}}$ .

Зарплата прирастает с темпом технологии, предельные продукты в устойчивом состоянии постоянны. Устойчивый среднедушевой доход зависит от нормы сбережения физического и человеческого капитала, технического прогресса и темпа прироста населения^[4]:

${\displaystyle ln({\frac {Y}{L}})=lnA-{\frac {\alpha +\beta }{1-\alpha -\beta }}ln(n+g_{A}+\sigma )+{\frac {\alpha }{1-\alpha -\beta }}lns_{K}+{\frac {\beta }{1-\alpha -\beta }}lns_{H}}$ .

Более высокий уровень сбережения или более низкий темп прироста населения приводит к более высокому доходу, что приводит к более высокому уровню человеческого капитала и/или к накоплению человеческого капитала. Высокий рост населения снижает среднедушевой доход, так как распределение идёт между большим количеством людей^[4].

На переходной траектории будет наблюдаться темп прироста среднедушевого дохода, замедляющийся по мере приближения к стационарному состоянию, который зависит от темпов прироста населения и технологии, норм сбережения капитала, от начального уровня капитала^[4]:

${\displaystyle g_{Y/L}=\alpha g_{k}+\beta g_{h}+g_{A}}$ ,

${\displaystyle g_{k}=s_{K}{\frac {y}{k}}-(n+g)}$ ,

${\displaystyle g_{h}=s_{H}{\frac {y}{h}}-(n+g)}$ ,

где ${\displaystyle {\frac {y}{k}}}$ и ${\displaystyle {\frac {y}{h}}}$  — средняя отдача физического и человеческого капитала.

Эндогенная модель

При постоянной отдачи от капитала^[en], когда ${\displaystyle \alpha +\beta =1}$ , модель преобразуется в эндогенную AK-модель. Экзогенная функция технического прогресса отсутствует (параметр A — константа, темп прироста технического прогресса равен нулю)^[4].

Производственная функция, которая не зависит от труда или труд является константой, имеет вид^[4]:

${\displaystyle Y=AK^{\alpha }H^{1-\alpha }}$ .

А темпы прироста физического и человеческого капитала выражаются^[4]:

${\displaystyle g_{K}={\frac {\dot {K}}{K}}=s_{K}{\frac {Y}{K}}=s_{K}A({\frac {K}{H}})^{\alpha -1}}$ ,

${\displaystyle g_{H}={\frac {\dot {H}}{H}}=s_{H}{\frac {Y}{H}}=s_{H}A({\frac {K}{H}})^{\alpha }}$ .

Устойчивый темп прироста равен^[4]:

${\displaystyle g=g_{Y}=g_{K}=g_{H}=g_{C}}$ , или

${\displaystyle g=A(s_{K})^{\alpha }s_{H}^{1-\alpha }}$ .

Экономика растёт с постоянным положительным темпом прироста на основе накопления человеческого и физического капитала, зависящий положительно от норм сбережения человеческого и физического капитала, что зависят от субъективного человеческого поведения^[4].

Модель дополняется максимизацией полезности потребителя и оптимизацией потребления в части ограничения со стороны ресурсов^[4]:

${\displaystyle Y=K^{\alpha }H^{1-\alpha }=C+S_{K}+S_{H}}$ ,

где ${\displaystyle S_{K}}$ и ${\displaystyle S_{H}}$  — направленные на рынки физического и человеческого капитала сбережения.

Равновесие потоков капитала^[4]:

${\displaystyle {\dot {K}}=S_{K}}$ ,

${\displaystyle {\dot {H}}=S_{H}}$ .

При динамической оптимизации функция Гамильтона имеет вид^[4]:

${\displaystyle J=u(C)e^{-\rho t}+\lambda S_{K}+\mu S_{H}+v(K^{\alpha }H^{1-\alpha }-C-S_{K}-S_{H})}$ .

Предельные продукты физического и человеческого капитала равны, равноценны финансовые активы на финансовом рынке. Темп прироста потребления в устойчивом состоянии соответствует темпам прироста основных переменных, зависящих от поведенческих параметров, то есть эндогенных параметров^[4]:

${\displaystyle g=g_{C}=1/\theta (\alpha ^{\alpha }(1-\alpha )^{1-\alpha }-\rho )=\sigma (\alpha ^{\alpha }(1-\alpha )^{1-\alpha }-\rho )}$ .

Отсюда, производственная функция зависит от одного из видов капитала:

${\displaystyle Y=({\frac {1-\alpha }{\alpha }})^{1-\alpha }K}$ .