WikiSort.ru - Не сортированное

Модель Васичека (Vasicek) — однофакторная математическая модель, описывающая эволюцию так называемой мгновенной процентной ставки. Модель предложена Олдричем Васичеком в 1977 году. Однофакторность связана с тем, что в модели участвует лишь один источник неопределённости динамики ставки. В рамках данной модели предполагается, что процентная ставка колеблется вокруг некоторого среднего уровня. Это первая модель, учитывающая особенность процентных ставок, отличающая их, например, от динамики цен. Процентные ставки не могут расти до бесконечности, так как их высокий уровень ограничит экономическую деятельность и после определённого предела сведет её на нет. С другой стороны, ставки естественным образом ограничены снизу. Таким образом, ставки должны двигаться в ограниченном диапазоне с тенденцией к возврату к некоторому среднему уровню (mean reversion). Недостаток модели Васичека заключается в том, что теоретически ставка может быть и отрицательной.

Математическая модель

Математически модель записывается в виде следующего стохастического дифференциального уравнения диффузионного типа (уравнение Орнштейна-Уленбека)^[1]:

${\displaystyle dr_{t}=\alpha (\beta -r_{t})\Delta t+\sigma \epsilon {\sqrt {\Delta t}}}$ ,

где:

• ${\displaystyle \epsilon {\sqrt {\Delta t}}}$  — винеровский процесс (${\displaystyle \epsilon }$ — случайный выбор из стандартного нормального распределения в момент t: ${\displaystyle \epsilon \left(t\right)\sim \mathrm {N} \left(0,1\right)}$ ),
• ${\displaystyle \beta }$  — средний (долгосрочный) уровень процентной ставки,
• ${\displaystyle \alpha }$  — параметр, характеризующий скорость возврата к среднему значению (${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$ ),
• ${\displaystyle \sigma }$  — параметр волатильности. В модели Васичека волатильность ставки не зависит от текущего значения ставки.

Решение уравнения

Решение уравнения Васичека имеет вид:

${\displaystyle r_{t}=r_{0}e^{-\alpha t}+\beta (1-e^{-\alpha t})+\sigma e^{-\alpha t}\int _{0}^{t}e^{\alpha s}dW_{s}}$

Математическое ожидание и волатильность ставки равны:

${\displaystyle E(r_{t})=r_{0}e^{-\alpha t}+\beta (1-e^{-\alpha t})=\beta +(r_{0}-\beta )e^{-\alpha t}~,~~V(r_{t})={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}(1-e^{-2\alpha t})}$

Следовательно при ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$ имеем долгосрочный средний уровень ставки и волатильность ${\displaystyle E(r)=\beta ~,~~V(r)={\frac {\sigma ^{2}}{2\alpha }}}$

Кривая доходности

Уравнение кривой доходности (срочной структуры процентных ставок), соответствующее модели Васичека имеет вид:

${\displaystyle R(t)=R_{\infty }+(r_{0}-R_{\infty }){\frac {1-e^{-\alpha t}}{\alpha t}}+{\frac {\sigma ^{2}(1-e^{-\alpha t})^{2}}{4\alpha ^{3}t}}~,~~R_{\infty }=\lim _{t\rightarrow \infty }R(t)=\beta +\lambda \sigma /a-0.5\sigma ^{2}/\alpha ^{2}}$

${\displaystyle \lambda }$ -рыночная цена риска, определяемая из условия отсутствия арбитража при формировании облигаций с разными сроками до погашения.

См. также

• Диффузионная модель эволюции процентных ставок

Примечания