WikiSort.ru - Не сортированное

Использование планарных графов

Наиболее простым и наглядным методом построения системы независимых контуров является построение планарного графа схемы, то есть размещение ветвей и узлов цепи на плоскости без взаимных пересечений рёбер. Планарный граф разбивает плоскость на К ограниченных областей. Можно показать, что замкнутые цепочки рёбер, ограничивающие эти области, являются системой независимых контуров для рассматриваемой схемы.

Метод планарного графа предпочтителен при ручном расчёте схем. В случае, если схему невозможно изобразить в виде планарного графа, а также в случае компьютерного построения системы контуров применение этого метода может оказаться невозможным.

Метод выделения максимального дерева

Дерево представляет собой подмножество звеньев цепи, представляющее собой односвязный (то есть состоящий из одной части) граф, в котором нет замкнутых контуров. Дерево получается из цепи путём исключения из него некоторых звеньев. Максимальное дерево - это дерево, для которого добавление к нему любого исключённого звена приводит к образованию контура.

Метод выделения максимального дерева основан на последовательном исключении из цепи определённых звеньев согласно следующим правилам:

• На каждом шагу из цепи в произвольном порядке исключается одно звено;
• Если исключение звена приводит к нарушению односвязности графа (то есть граф разбивается на две изолированных части, либо появляются «висящие» узлы), то звено возвращается в цепь;
• Если при исключении звена граф не теряет односвязности, звено остаётся исключённым;
• Переходим к следующему шагу.

В конце работы алгоритма число исключённых из цепи звеньев оказывается точно равно числу независимых контуров схемы. Каждый независимый контур получается присоединением к цепи соответствующего исключённого звена.

Пример выделения максимального дерева

• 
  Удаление звена R1
• 
  Удаление звеньев R2 и R3
• 
  Удаление звена R4 приводит к появлению «висячего» узла
• 
  Присоединение к дереву удалённого звена образует контур

Оптимизированная процедура составления системы

Как видно из вышесказанного, процедуру составления системы можно упростить следующим образом:

• В левой части К-го уравнения записываем произведение контурного тока на сумму сопротивлений всех звеньев, входящих в контур:

${\displaystyle I_{K}(Z_{K1}+Z_{K2}+...)+...,}$

где ${\displaystyle \ I_{K}}$ — ток контура, для которого записывается уравнение;

${\displaystyle \ Z_{K1}...Z_{Kn}}$ — сопротивления звеньев, входящих в этот контур.

• От левой части уравнения отнимаем остальные контурные токи, умноженные на суммы сопротивлений звеньев, по которым контур К пересекается с этими контурами:

${\displaystyle ...-I_{A}(Z_{KA1}+Z_{KA2}+...)-I_{B}(Z_{KB1}+Z_{KB2}+...)-...}$

где ${\displaystyle \ I_{A},I_{B},...}$ — токи контуров, пересекающихся с контуром К;

${\displaystyle \ Z_{KA1},Z_{KA2},...}$ — сопротивления звеньев, входящих одновременно в контура К и A.

• В правой части уравнения записываем сумму источников ЭДС с учётом знаков («плюс» — если направления ЭДС и обхода контура совпадают, «минус» — в противном случае):

${\displaystyle ...=\pm E_{K1}\pm E_{K2}...}$

• К правой части уравнения прибавляем величины источников тока, умноженные на сопротивление соответствующего звена с учётом знаков («плюс» — если направления источника тока и обхода контура совпадают, «минус» — в противном случае):

${\displaystyle ...\pm J_{K1}Z_{K1}\pm J_{K2}Z_{K2}...}$

Составив уравнения для всех независимых контуров, получаем совместную систему P–У+1 уравнений относительно P–У+1 неизвестных контурных токов.

Пример системы уравнений

Для схемы, представленной в предыдущем разделе (см. "Построение системы уравнений", рис. 1), матрицы имеют вид:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}-1&-1&0&1&0&0\\0&1&-1&0&1&0\\1&0&1&0&0&1\end{pmatrix}};\quad \mathbf {I} _{2}={\begin{pmatrix}I_{4}\\I_{5}\\I_{6}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \mathbf {C} ^{t}={\begin{pmatrix}-1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}};\quad \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}Z_{1}&0&0&0&0&0\\0&Z_{2}&0&0&0&0\\0&0&Z_{3}&0&0&0\\0&0&0&Z_{4}&0&0\\0&0&0&0&Z_{5}&0\\0&0&0&0&0&Z_{6}\\\end{pmatrix}};\quad \mathbf {J} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\J_{5}\\0\end{pmatrix}};\quad \mathbf {E} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\0\\E_{6}\end{pmatrix}}}$

Перемножаем матрицы в соответствии с матричным уравнением:

${\displaystyle \mathbf {CZ} ={\begin{pmatrix}-Z_{1}&-Z_{2}&0&Z_{4}&0&0\\0&Z_{2}&-Z_{3}&0&Z_{5}&0\\Z_{1}&0&Z_{3}&0&0&Z_{6}\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle \mathbf {CZC^{t}} ={\begin{pmatrix}Z_{1}+Z_{2}+Z_{4}&-Z_{2}&-Z_{1}\\-Z_{2}&Z_{2}+Z_{3}+Z_{5}&-Z_{3}\\-Z_{1}&-Z_{3}&Z_{1}+Z_{3}+Z_{6}\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle \mathbf {CZC^{t}I_{2}} ={\begin{pmatrix}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{5}-Z_{3}\cdot I_{6}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})\cdot I_{6}\end{pmatrix}};}$

${\displaystyle \mathbf {E+ZJ} ={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\E_{4}\\Z_{5}J_{5}\\E_{6}\end{pmatrix}};\quad \mathbf {C(E+ZJ)} ={\begin{pmatrix}E_{4}\\Z_{5}J_{5}\\E_{6}\end{pmatrix}}}$

Раскрывая матричную запись, получаем следующую систему уравнений:

${\displaystyle {\begin{cases}(Z_{1}+Z_{2}+Z_{4})\cdot I_{4}-Z_{2}\cdot I_{5}-Z_{1}\cdot I_{6}=E_{4}\\-Z_{2}\cdot I_{4}+(Z_{2}+Z_{3}+Z_{5})\cdot I_{5}-Z_{3}\cdot I_{6}=Z_{5}J_{5}\\-Z_{1}\cdot I_{4}-Z_{3}\cdot I_{5}+(Z_{1}+Z_{3}+Z_{6})\cdot I_{6}=E_{6}\end{cases}}.}$