WikiSort.ru - Не сортированное

Задача

На рисунке изображена коммутируемая RL-цепочка. В некоторый момент времени t=0 ключ К замыкается. Определить зависимость тока в RL-цепочке от времени.

Решение

Согласно второму закону Кирхгофа, схема описывается следующим дифференциальным уравнением:

${\displaystyle U=iR+L{\frac {di}{dt}},}$

где первый член описывает падение напряжения на резисторе R, а второй — на индуктивности L.

Делаем замену переменной ${\displaystyle i=ab}$ и приводим уравнение к виду:

${\displaystyle U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.}$

Поскольку один из сомножителей a, b можно выбрать произвольно, выберем b так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

${\displaystyle Rb+Lb'=0.}$

Разделяем переменные:

${\displaystyle {\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L}};\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b=e^{-{\frac {R}{L}}t}.}$

С учётом выбранного значения b дифференциальное уравнение приводится к виду

${\displaystyle U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}};}$

Интегрируя, получаем

${\displaystyle a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad }$

Получаем выражение для тока

${\displaystyle i=ab=\left({\frac {Ue^{{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R}{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};}$

Значение постоянной интегрирования находим из условия, что в момент t=0 тока в цепи не было:

${\displaystyle i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.}$

Окончательно получаем

${\displaystyle i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).}$