Ме́тод Чаплы́гина (также известен как метод двухсторонних приближений[1]) — метод приближённого решения дифференциальных уравнений с заданной степенью точности, который был предложен С. А. Чаплыгиным и основывается на теореме Чаплыгина. Метод предназначен для решения задачи Коши для системы ОДУ первого порядка (либо для одного ОДУ порядка выше первого) и состоит в построении двух семейств барьерных решений, последовательно приближающихся к точному решению системы.
Описание метода
Основная идея
Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешённое относительно высшей производной:
.
Тогда требуется найти две функции
и
, равные искомому интегралу в точке
и, на некотором прилегающем к этой точке участке, удовлетворяющие неравенству
. Можно сказать, что функции
и
совпадают со сторонами AB и AC криволинейного треугольника ABC (абсцисса точки A —
), внутри которого проходит функция
, причём расстояние между B и C должно быть сравнительно невелико.
Алгоритм (для уравнения первого порядка)
Требуется решить уравнение
, причём функция
удовлетворяет условию Липшица.
- Найдём две функции
и
такие, что в точке
они являются решениями уравнения и на некотором полуинтервале
выполняется:
;
.
Эти функции будем считать первым приближением решения.
- Пусть нам уже известно некоторое приближённое решение
и
, тогда следующим приближением будут функции:
;
;
;
.
Здесь L — константа Липшица для функции
.
Если дополнительно выполняется условие сохранения знака второй частной производной функции
по
в области
, то следующее приближение может быть найдено другим методом: построим две поверхности
и
, одна из которых образована прямыми, проходящими через точки пересечения
с
и
при фиксированном
, а вторая касательными к ней, проведёнными под минимальным углом к плоскости OXY параллельно оси OY, причём
. Тогда функции
и
могут быть получены путём решения двух линейных дифференциальных уравнений:
;
Сходимость[2]
Метод Чаплыгина представляет собой обобщение метода Ньютона для решения ОДУ, следовательно, начиная с некоторого n,
.
Литература
- Чаплыгин С. А. Новый метод приближённого интегрирования дифференциальных уравнений / Под ред. В. К. Гольцмана. — Л.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1950.
- Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1959. — Т. 2. — С. 260-277.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .