Метод Мюллера — итерационный численный метод для решения уравнения непрерывной функции. Был представлен Давидом Мюллером в 1956 году.
Метод Мюллера развивает идею метода секущих, который строит на каждом шаге итерации прямые, проходящие через две точки на графике f. Вместо этого, метод Мюллера использует три точки, строит параболу, проходящую через эти три точки, и в качестве следующего приближения берёт точку пересечения параболы и оси x.
Три изначально необходимых значения обозначаются как xk, xk-1 и xk-2. Парабола, проходящая через три точки (xk, f(xk)), (xk-1, f(xk-1)) и (xk-2, f(xk-2)) по формуле Ньютона записывается следующим образом
где f[xk, xk-1] и f[xk, xk-1, xk-2] разделённые разности. Это уравнение можно переписать в виде
где
Следующая итерация даёт корень квадратного уравнения y = 0. Из этого выходит рекуррентная формула
В этой формуле знак выбирается таким образом, чтобы знаменатель был больше по абсолютной величине. Стандартная формула для решения квадратных уравнений не используется, так как это может привести к потере значимых разрядов.
Приближение xk+1 может быть комплексным числом, даже если все предыдущие приближения были вещественными, в отличие от других алгоритмов численного поиска корней (метод секущих или метод Ньютона), где приближения будут оставаться вещественными, если начинать с вещественного числа. Наличие комплексных итераций может быть как преимуществом (если вы ищете комплексный корень), так и недостатком (если известно, что все корни вещественные).
Скорость сходимости метода Мюллера составляет примерно 1.84. Её можно сравнить с 1.62 для метода секущих и 2 для метода Ньютона. Таким образом, метод секущих будет выполняться за большее число шагов, чем метод Мюллера и метод Ньютона.
Точнее, если обозначает не кратный корень (то есть , трижды непрерывно дифференцируема, и начальные приближения , , и были достаточно близки к , то итерации удовлетворяют соотношению
где p ≈ 1.84 это положительный корень уравнения .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .