WikiSort.ru - Не сортированное

Пример

Пусть ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\geq 0}}$ — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$ , и

${\displaystyle \tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}$

— момент первого достижения процессом ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ уровня ${\displaystyle L}$ . Тогда ${\displaystyle \tau }$ — марковский момент, ибо ${\displaystyle \tau \leq n}$ тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle i\in \mathbb {N} ,\;0\leq i\leq n}$ такое, что ${\displaystyle Y_{i}\geq L}$ . Таким образом событие ${\displaystyle \{\tau \leq n\}}$ зависит лишь от поведения процесса до момента времени ${\displaystyle n}$ .

Пусть теперь

${\displaystyle \sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}}$

— момент последнего достижения процессом ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ уровня ${\displaystyle L}$ . Тогда ${\displaystyle \sigma }$ не является марковским моментом, ибо событие ${\displaystyle \{\sigma \leq n\}}$ предполагает знание поведения процесса в будущем.

Свойства

Если ${\displaystyle \tau }$ и ${\displaystyle \sigma }$ — марковские моменты, то

• ${\displaystyle \tau +\sigma }$ — марковский момент;
• ${\displaystyle \tau \wedge \sigma \equiv \min(\tau ,\sigma )}$ — марковский момент;
• ${\displaystyle \tau \vee \sigma \equiv \max(\tau ,\sigma )}$ — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть ${\displaystyle \{W_{t}\}_{t\geq 0}}$ — стандартный винеровский процесс. Пусть ${\displaystyle \alpha >0}$ . Определим

${\displaystyle \tau =\inf\{t\geq 0\mid W_{t}\geq \alpha \}}$ .

Тогда ${\displaystyle \tau }$ — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

${\displaystyle f_{\tau }(t)={\frac {\alpha }{\sqrt {2\pi t^{3}}}}e^{-{\frac {\alpha ^{2}}{2t}}},\quad t\geq 0}$ .

В частности ${\displaystyle \tau }$ — момент остановки. Однако,

${\displaystyle \mathbb {E} \tau =\infty }$ .