WikiSort.ru - Не сортированное

Гамильтониан и переход к макроскопической теории

Описание магнитной анизотропии в макроскопической теории магнетизма обычно осуществляется введением энергии магнитной анизотропии. Она может быть получена через гамильтониан системы атомов методом возмущений, в котором роль малых возмущений играют релятивистские взаимодействия, но так же её общий вид может быть получен из кристаллографической симметрии кристалла^[1].

Гамильтониан системы спинов с учетом простейшей анизотропии обычно представляется в виде

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{an}=-\sum _{n}{\mathcal {J}}_{k}S_{n}^{k}S_{n+\delta }^{k}-{\frac {1}{2}}\sum _{n}[{\mathcal {K}}_{1}(S_{n}^{1})^{2}+{\mathcal {K}}_{2}(S_{n}^{1})^{2}],}$

где индекс n нумерует спины в кристаллической решетке, ${\displaystyle \delta }$ пробегает по ближайшим соседям n-го спина S_n, а индекс ${\displaystyle k=1,2,3}$ соответствует прямоугольным декартовым координатам x, y и z. Первая сумма в этом выражении ставится в соответствие так называемой обменной анизотропии, а вторая — одноионной. Коэффициенты ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{k}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{k}}$ определяют вклад каждой из них по соответствующей оси. Обменная анизотропия обычно достаточно мала и играет роль небольшой добавки к гамильтониану обменного взаимодействия. Для ферромагнетиков эта добавка обычно записывается как сумма скалярных произведений соседних спинов:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=-J\sum _{n}S_{n}^{k}S_{n+\delta }^{k}.}$

Постулируется, что к энергии магнетика можно перейти путём замены оператора спина ${\displaystyle \mathbf {S} }$ на величину, равную магнитному моменту, приходящемуся на один узел кристаллической решетки ${\displaystyle -{\frac {a^{3}}{2\mu _{B}}}M_{s}\mathbf {m} (\mathbf {r} _{n})}$ , где a — постоянная решётки, ${\displaystyle \mu _{B}}$  — магнетон Бора, M_s — намагниченность насыщения, а ${\displaystyle \mathbf {m} }$  — единичный вектор, сонаправленный намагниченности, и разложением намагниченности в ряд Тейлора вблизи узла решётки ^[2]. Зависимость плотности полной энергии магнетика от анизотропных членов можно представить в виде

${\displaystyle w=A\left(\nabla m_{i}\right)^{2}2-K_{1}m_{x}^{2}-K_{3}m_{z}^{2}.}$