WikiSort.ru - Не сортированное

Производная Ли

Задача линеаризации обратной связью в построении преобразованной системы, состояния которой -- выход ${\displaystyle y}$ и его первые ${\displaystyle (n-1)}$ производных. Для достижения этой цели используем производную Ли. Рассмотрим производную по времени от (2), которая может быть вычислена с помощью правила дифференцирования сложной функции,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {y}}={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} t}}&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}{\dot {x}}\\&={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x)+{\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x)u\end{aligned}}}$

теперь мы можем определить производную Ли от ${\displaystyle h(x)}$ через ${\displaystyle f(x)}$ как,

${\displaystyle L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}f(x),}$

и, аналогично, производную Ли от ${\displaystyle h(x)}$ через ${\displaystyle g(x)}$ как,

${\displaystyle L_{g}h(x)={\frac {\operatorname {d} h(x)}{\operatorname {d} x}}g(x).}$

Введя данные обозначения, определяем ${\displaystyle {\dot {y}}}$ как,

${\displaystyle {\dot {y}}=L_{f}h(x)+L_{g}h(x)u}$

Следует отметить, что применение производных Ли удобно, когда мы берем многократные производные или относительно той же самой векторной области или относительно различной. Например,

${\displaystyle L_{f}^{2}h(x)=L_{f}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}f(x),}$

и

${\displaystyle L_{g}L_{f}h(x)={\frac {\operatorname {d} (L_{f}h(x))}{\operatorname {d} x}}g(x).}$

Относительная степень

В нашей линеаризуемой системе вектор состояния состоит из выходной переменной ${\displaystyle y}$ и её первых ${\displaystyle (n-1)}$ производных. Необходимо понять как вход ${\displaystyle u}$ вводится в систему. Для этого введём понятие относительной степени. Система (1), (2) имеет относительную степень ${\displaystyle r\in \mathbb {W} }$ в точке ${\displaystyle x_{0}}$ если,

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{k}h(x)=0\qquad \forall x}$ в окрестности ${\displaystyle x_{0}}$ для всех ${\displaystyle k\leq r-2}$

${\displaystyle L_{g}L_{f}^{r-1}h(x_{0})\neq 0}$

Considering this definition of relative degree in light of the expression of the time derivative of the output ${\displaystyle y}$ , we can consider the relative degree of our system (1) and (2) to be the number of times we have to differentiate the output ${\displaystyle y}$ before the input ${\displaystyle u}$ appears explicitly. В теории линейных стационарных систем относительная степень это разница между степенями полиномов числителя и знаменателя передаточной функции.

Линеаризация обратной связью

Далее будем полагать, что относительная степень системы равна ${\displaystyle n}$ . В этом случае, дифференцируя выход ${\displaystyle n}$ раз, имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=h(x)\\{\dot {y}}&=L_{f}h(x)\\{\ddot {y}}&=L_{f}^{2}h(x)\\&\vdots \\y^{(n-1)}&=L_{f}^{n-1}h(x)\\y^{(n)}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle y^{(n)}}$ означает ${\displaystyle n}$ ю производную от ${\displaystyle y}$ . Учитывая, что относительная степень системы равна ${\displaystyle n}$ , производные Ли формы ${\displaystyle L_{g}L_{f}^{i}h(x)}$ for ${\displaystyle i=1,\dots ,n-2}$ все равны нулю. Что означает, что вход ${\displaystyle u}$ не вносит прямого вклада в любую из ${\displaystyle (n-1)}$ первых производных.

Преобразование ${\displaystyle T(x)}$ , приводящее систему к нормальной форме, может быть определено с использованием первых ${\displaystyle (n-1)}$ производных. В частности,

${\displaystyle z=T(x)={\begin{bmatrix}z_{1}(x)\\z_{2}(x)\\\vdots \\z_{n}(x)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y\\{\dot {y}}\\\vdots \\y^{(n-1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h(x)\\L_{f}h(x)\\\vdots \\L_{f}^{n-1}h(x)\end{bmatrix}}}$

преобразует фазовые траектории из начальной системы координат ${\displaystyle x}$ в новую ${\displaystyle z}$ . Поскольку данное преобразование является диффеоморфизмом, гладкая траектория в исходном пространстве будет иметь единственный эквивалент в пространстве ${\displaystyle z}$ , который также будет гладким. Данные траектории в пространстве ${\displaystyle z}$ описывают новую систему,

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=L_{f}h(x)=z_{2}(x)\\{\dot {z}}_{2}&=L_{f}^{2}h(x)=z_{3}(x)\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=L_{f}^{n}h(x)+L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)u\end{cases}}.}$

Таким образом, закон управления обратной связи

${\displaystyle u={\frac {1}{L_{g}L_{f}^{n-1}h(x)}}(-L_{f}^{n}h(x)+v)}$

линейной передаточной функцией от ${\displaystyle v}$ к ${\displaystyle z_{1}=y}$ . Получаемая в результате линеаризованная система

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {z}}_{1}&=z_{2}\\{\dot {z}}_{2}&=z_{3}\\&\vdots \\{\dot {z}}_{n}&=v\end{cases}}}$

представляет собой каскад из ${\displaystyle n}$ интеграторов, и управление ${\displaystyle v}$ может быть получено стандартными методами, используемыми в теории управления для линейных систем . В частности, закон управления

${\displaystyle v=-Kz\qquad ,}$

где вектор состояния ${\displaystyle z}$ включает выход ${\displaystyle y}$ и его первые ${\displaystyle (n-1)}$ производные, что в результате даёт линейную систему

${\displaystyle {\dot {z}}=Az}$

где

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\-k_{1}&-k_{2}&-k_{3}&\ldots &-k_{n}\end{bmatrix}}.}$

Таким образом, выбирая соответствующие ${\displaystyle k}$ , мы можем произвольно располагать полюса замкнутой линеаризованной системы.