WikiSort.ru - Не сортированное

Квантовая вероятность (некоммутативная вероятность) — некоммутативный аналог классической (колмогоровской) теории вероятности и теории стохастических процессов.

Некоммутативным случайным процессом называется случайный процесс над C*-алгеброй B с множеством значений параметра ${\displaystyle T}$ как совокупность из C*-алгебры A, семейства ${\displaystyle {J(t):t\in T}}$ гомоморфизмов алгебры B в A и состояния ${\displaystyle \omega }$ на A.

Приведенное определение некоммутативного случайного процесса таково, что может использоваться в квантовой теории открытых систем. Оно может рассматриваться как некоммутативный аналог классического случайного процесса в смысле Дуба^[1] и Мейера^[2].

Исследования моделей открытых квантовых систем восходят к пионерской работе^[3]Н. Н. Боголюбова и Н. М. Крылова 1939 года. Лежащие в основе стохастические структуры были открыты и изучены значительно позже. Главной трудностью оказался вопрос о правильном определении понятия квантового случайного процесса. Значительный прогресс в этом вопросе был связан с введением понятия квантовой динамической полугруппы, предложенного А. Коссаковским^[4][5][6], а затем развитого Г. Линдбладом^[7] (см. Уравнение Линдблада).

Квантовые динамические полугруппы являются некоммутативным обобщением полугруппы отображений операторов в теории марковских случайных процессов. Эта полугруппа описывает эволюцию квантовой системы, определяемую только настоящим состоянием системы, то есть эволюцию без памяти о прошлых состояниях. Такие полугруппы удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые являются некоммутативными обобщениями уравнений Фоккера — Планка или Колмогорова-Чепмена.

Квантовым (некоммутативным) вероятностным пространством называется пара (A,${\displaystyle \omega }$ ), где A является *-алгеброй и ${\displaystyle \omega }$ является состоянием.

Это определение является обобщением вероятностного пространства в классической (колмогоровской) теории вероятностей^[8], в том смысле, что каждое классическое вероятностное пространство порождает квантовое вероятностное пространство, если в качестве A выбрана *-алгеброй ограниченных комплексно-значных измеримых функций.

Примечания

Литература

• Холево А. С. Квантовая вероятность и квантовая статистика. Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1991, 83, стр.5-132.
• Сарымсаков Т. А. Введение в квантовую теорию вероятностей. Ташкент: Фан, 1985. 184 c.
• Квантовые случайные процессы и открытые системы. Сост. Холево A. C. Сборник статей 1982—1984. Пер с англ. М.: Мир, 1988. 223с.
• Аккарди Л. Диалоги о квантовой механике: Гейзенберг, Фейнман, Академус, Кандидо и хамелеон на ветке. РХД, 2004. 436 с. ISBN 5-93972-226-1
• Accardi L., Lu Y.G., Volovich I.V. Quantum Theory and Its Stochastic Limit. — New York: Springer Verlag, 2002. (недоступная ссылка)
• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986. 528с.
• Белавкин В. П. О генераторах квантовых стохастических эволюционных уравнений Теор. Мат. Физ. (1997) Том.110. N.1, стр.46-60. (недоступная ссылка)
• Chebotarev A. M. Lectures on quantum probability (2000) Sociedad Matematica Mexicana, A portaciones Matematicas, Ser. Textos 14, Mexico 2000.
• Meyer P. A. Quantum probability for probabilists, Lecture Notes in Mathematics. Vol. 1538. Springer-Verlag, Berlin, 1993.
• Parthasarathy K. R. «An introduction to quantum stochastic calculus», Monographs in Mathematics, 85, Birkhäuser Verlag, Basel, 1992.

См. также

• Квантовая механика
• Вероятность
• Уравнение Линдблада
• Квантовая статистика