WikiSort.ru - Не сортированное

Общий случай

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {A}},{\mathcal {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$  — категории, а ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$  — функторы

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal {C}}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal {B}}}$

Категорию запятой ${\displaystyle (S\downarrow T)}$ можно построить следующим образом:

• Объекты — все тройки вида ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ , где ${\displaystyle \alpha }$  — объект ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ , ${\displaystyle \beta }$  — объект ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ , и ${\displaystyle f:S(\alpha )\rightarrow T(\beta )}$  — морфизм в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ .
• Морфизмы из ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$ в ${\displaystyle (\alpha ',\beta ',f')}$  — все пары ${\displaystyle (g,h)}$ , где ${\displaystyle g:\alpha \rightarrow \alpha '}$ , ${\displaystyle h:\beta \rightarrow \beta '}$  — морфизмы в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ соответственно, такие что следующая диаграмма коммутирует:

${\displaystyle {\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)}}&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T(\beta )&{\xrightarrow[{T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matrix}}}$

Композиция морфизмов ${\displaystyle (g,h)\circ (g',h')}$ берется как ${\displaystyle (g\circ g',h\circ h')}$ , если последнее выражение определено. Тождественный морфизм объекта ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,f)}$  — это ${\displaystyle (\mathrm {id} _{\alpha },\mathrm {id} _{\beta })}$ .

Два частных случая

Рассмотрим два частных случая, которые более просты и встречаются очень часто.

Первый случай — категория объектов над ${\displaystyle A}$ . Пусть в предыдущем определении ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {C}}}$ , ${\displaystyle S}$  — тождественный функтор и ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\textbf {1}}}$ (категория с одним объектом ${\displaystyle *}$ и одним морфизмом). Тогда ${\displaystyle T(*)=A}$ для некоторого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ . В этом случае используют обозначение ${\displaystyle ({\mathcal {C}}\downarrow A)}$ . Объекты вида ${\displaystyle (\alpha ,*,f)}$  — это просто пары ${\displaystyle (\alpha ,f)}$ , где ${\displaystyle f:\alpha \rightarrow A}$ . Иногда в этой ситуации ${\displaystyle f}$ обозначают как ${\displaystyle \pi _{\alpha }}$ . Морфизм из ${\displaystyle (B,\pi _{B})}$ в ${\displaystyle (B',\pi _{B'})}$  — это морфизм ${\displaystyle g:B\rightarrow B'}$ , замыкающий следующую диаграмму до коммутативной:

Двойственный случай — категория объектов под ${\displaystyle A}$ . Здесь ${\displaystyle S}$  — функтор из 1 и ${\displaystyle T}$  — тождественный функтор. В этом случае используют обозначение ${\displaystyle (A\downarrow {\mathcal {C}})}$ , где ${\displaystyle A}$  — объект ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , в который отображает ${\displaystyle S}$ . Объекты — пары ${\displaystyle (B,i_{B})}$ , где ${\displaystyle i_{B}:A\rightarrow B}$ . Морфизм между ${\displaystyle (B,i_{B})}$ и ${\displaystyle (B',i_{B'})}$  — отображение ${\displaystyle h:B\rightarrow B'}$ , замыкающее следующую диаграмму до коммутативной:

Категория стрелок

Ещё один частный случай — когда ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$  — тождественные функторы в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ (так что ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$ ). В этом случае категория запятой называется категорией стрелок ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\rightarrow }}$ . Её объекты — морфизмы ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , а её морфизмы — коммутативные квадраты в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ .^[1]