WikiSort.ru - Не сортированное

Куб Карно́ (ка́рта Карно, диагра́мма Карно) — графический способ представления переключательных булевых функций с целью наглядной и удобной их минимизации, обеспечивающий упрощение сложных логических функций многих переменных и устранение потенциальных логических гонок^[1].

Является одним из эквивалентных способов описания или задания логический функций наряду с таблицей истинности или выражениями булевой алгебры. Преобразование представления логической функции, заданной в виде карты Карно в таблицу истинности или в булеву формулу и обратное преобразование элементарно по простоте.

Удобство и наглядность такого представления логической функции обусловлено тем, что логические термы, к которым могут быть применены операции попарного неполного склеивания и элементарного поглощения группируются в карте Карно в виде массивов соседних ячеек по вертикалям и горизонталям логических единиц или нулей, что человеку сразу наглядно видно.

Карты Карно можно рассматривать как развертку на плоскость n-мерного булева куба, причем размерность этого гиперкуба совпадает с количеством переменных представляемой функции. Графически карта Карно изображается в виде прямоугольника или квадрата из ячеек, число которых равно ${\displaystyle 2^{n}}$ , причем любые две соседние ячейки по вертикали или горизонтали или, иными словами — в окрестности фон Неймана описывают термы, различающиеся только по одной переменной — с логическим отрицанием и без логического отрицания. Также соседним являются первая и последняя строки, крайний левый и крайний правый столбцы таблицы, поэтому таблица Карно является фактически разверткой логического гиперкуба на поверхность тороида. Возможно построение самых различных карт для одной и той же функции, удовлетворяющих условию: геометрическое соседство ячеек в смысле фон Неймана — логическое соседство термов — то есть с расстоянием Хэмминга между термами соседних ячеек равным 1. Любая из таких таблиц одинаково удобна для минимизации функции, но обычно переменные по строкам и столбцам в карте Карно упорядочивают по рефлексивному коду Грея из-за мнемоничности и наглядности.

История

Карты Карно были предложены в 1952 году Эдвардом В. Вейчем и усовершенствованы в 1953 году Морисом Карно, физиком из «Bell Labs» чтобы упростить проектирование цифровых систем.

Принципы минимизации

Основным методом минимизации логических функций, представленных в виде СДНФ или СКНФ, является операция попарного неполного склеивания и элементарного поглощения. Операция попарного склеивания осуществляется между двумя термами (членами), содержащими одинаковые переменные, вхождения которых (прямые и инверсные) совпадают для всех переменных, кроме одной. В этом случае все переменные, кроме одной, можно вынести за скобки, а оставшиеся в скобках прямое и инверсное вхождение одной переменной подвергнуть склейке. Например:

${\displaystyle {\overline {X}}_{1}X_{2}X_{3}X_{4}\vee {\overline {X}}_{1}X_{2}{\overline {X}}_{3}X_{4}={\overline {X}}_{1}X_{2}X_{4}(X_{3}\vee {\overline {X}}_{3})={\overline {X}}_{1}X_{2}X_{4}\cdot 1={\overline {X}}_{1}X_{2}X_{4}.}$

Аналогично для КНФ:

${\displaystyle ({\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{3}\vee X_{4})({\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee {\overline {X}}_{3}\vee X_{4})={\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{4}\vee X_{3}{\overline {X}}_{3}={\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{4}\vee 0={\overline {X}}_{1}\vee X_{2}\vee X_{4}.}$

Возможность поглощения следует из очевидных равенств

${\displaystyle A\vee {\overline {A}}=1;A{\overline {A}}=0.}$

Таким образом, главной задачей при минимизации СДНФ и СКНФ является поиск термов, пригодных к склейке с последующим поглощением, что для больших форм может оказаться достаточно сложной задачей. Карты Карно предоставляют наглядный способ отыскания таких термов.

Как известно, булевы функции N переменных, представленные в виде СДНФ или СКНФ, могут иметь в своём составе 2^N различных термов. Все эти члены составляют некоторую структуру, топологически эквивалентную N-мерному кубу, причём любые два терма, соединённые ребром, пригодны для склейки и поглощения.

На рисунке изображена простая таблица истинности для функции из двух переменных, соответствующий этой таблице 2-мерный куб (квадрат), а также 2-мерный куб с обозначением членов СДНФ и эквивалентная таблица для группировки термов:

В случае функции трёх переменных приходится иметь дело с трёхмерным кубом. Это сложнее и менее наглядно, но технически возможно. На рисунке в качестве примера показана таблица истинности для булевой функции трёх переменных и соответствующий ей куб.

Как видно из рисунка, для трёхмерного случая возможны более сложные конфигурации термов. Например, четыре терма, принадлежащие одной грани куба, объединяются в один терм с поглощением двух переменных:

${\displaystyle {\overline {X}}_{1}{\overline {X}}_{2}{\overline {X}}_{3}\vee X_{1}{\overline {X}}_{2}{\overline {X}}_{3}\vee {\overline {X}}_{1}{\overline {X}}_{2}X_{3}\vee X_{1}{\overline {X}}_{2}X_{3}=}$

${\displaystyle ={\overline {X}}_{2}({\overline {X}}_{1}{\overline {X}}_{3}\vee {\overline {X}}_{1}X_{3}\vee X_{1}{\overline {X}}_{3}\vee X_{1}X_{3})={\overline {X}}_{2}({\overline {X}}_{1}\vee X_{1})({\overline {X}}_{3}\vee X_{3})={\overline {X}}_{2}}$

В общем случае можно сказать, что 2^K термов, принадлежащие одной K-мерной грани гиперкуба, склеиваются в один терм, при этом поглощаются K переменных.

Для упрощения работы с булевыми функциями большого числа переменных был предложен следующий удобный приём. Куб, представляющий собой структуру термов, разворачивается на плоскость, как показано на рисунке. Таким образом появляется возможность представлять булевы функции с числом переменных больше двух в виде плоской таблицы. При этом следует помнить, что порядок кодов термов в таблице (00 01 11 10) не соответствует порядку следования двоичных чисел, а клетки, находящиеся в крайних столбцах таблицы, соседствуют между собой.

Аналогичным образом можно работать с функциями большего числа переменных.

Порядок работы с картой Карно

Исходной информацией для работы с картой Карно является таблица истинности минимизируемой функции. Таблица истинности содержит полную информацию о логической функции, задавая её значения на всех возможных 2^N наборах входных переменных X₁ … X_N. Карта Карно также содержит 2^N клеток, каждая из которых ассоциируется с уникальным набором входных переменных X₁ … X_N. Таким образом, между таблицей истинности и картой Карно имеется взаимно однозначное соответствие, и карту Карно можно считать соответствующим образом отформатированной таблицей истинности.

В данном разделе в качестве примера используется функция четырёх переменных, заданная таблицей истинности, изображённой на рис. 2а. Карта Карно для той же функции изображена на рис. 2б.

Описание

Карта Карно может быть построена для любого количества переменных, однако удобно работать при количестве переменных не более пяти. По сути Карта Карно — это таблица истинности, представленная в виде матрицы в 2-мерном виде.

Каждая клетка этой карты соответствует одной строке в классической таблице истинности и обозначается строкой переменных с инверсиями и без инверсий. Например, пусть в таблице истинности для функции 4 переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},}$ одна из строк имеет вид: 0 1 1 0 | 1, тогда клетка в карте Карно, соответствующая этой строке, будет иметь имя ${\displaystyle {\overline {x}}_{1},x_{2},x_{3},{\overline {x}}_{4}}$ и в этой клетке ставится 1. Указание имён клеток в карте Карно обычно выполняется дополнительной строкой сверху и дополнительным столбцом слева.

Существенно, что в карте Карно соседние клетки обязательно имеют соседние, в смысле расстояния Хэмминга коды, то есть расстояние Хэмминга между соседними клетками равно 1, и различаются только состоянием — с инверсией или без, одной и только одной из переменных. Соседними клетками считаются клетки, примыкающие друг к другу стороной, также соседними клетками считаются клетки крайнего левого и крайнего правого столбцов и клетки первой и последней строк. Таком образом, карта Карно на плоскости топологически эквивалентна поверхности тора в трёхмерном пространстве, или гипертору в пространстве с размерностью на 1 больше размерности соответствующей многомерной карты Карно.

Так как перестановка переменных в логической функции не изменяет саму функцию, то есть, например, ${\displaystyle F(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=F(x_{4},x_{2},x_{3},x_{1})}$ или, что то же самое, — перестановка столбцов переменных в таблице истинности не изменяет функцию, существует несколько вариантов отображения таблицы истинности на карту Карно с сохранением «соседства» клеток. Но практически наиболее часто карту Карно заполняют, используя нарастающий код Грея для обозначения строк и столбцов. Такой подход гарантирует порождение карты Карно с избеганием субъективных ошибок.

При заполнении карты на пересечении строки и столбца проставляется соответствующее значение из таблицы истинности — 0 или 1. После того как карта заполнена, приступают к минимизации.

Если необходимо получить минимальную ДНФ, то в Карте рассматриваем только те клетки, которые содержат единицы, если нужна КНФ, то рассматриваем те клетки, которые содержат нули. Сама минимизация производится по следующим правилам (на примере ДНФ).

1. Объединяем смежные клетки, содержащие единицы, в область так, чтобы одна область содержала ${\displaystyle 2^{n}}$ (${\displaystyle n}$ целое число = 0…${\displaystyle \infty }$ ) клеток (помним про то, что крайние строки и столбцы являются соседними между собой), в области не должно находиться клеток, содержащих нули;
2. Область должна располагаться симметрично оси(ей) (оси располагаются через каждые четыре клетки);
3. Несмежные области, расположенные симметрично оси(ей), могут объединяться в одну;
4. Область должна быть как можно больше, а количество областей как можно меньше;
5. Области могут пересекаться;
6. Возможно несколько вариантов покрытия.

Далее берём первую область и смотрим, какие переменные не меняются в пределах этой области, выписываем конъюнкцию этих переменных; если неменяющаяся переменная нулевая, проставляем над ней инверсию. Берём следующую область, выполняем то же самое, что и для первой, и т. д. для всех областей. Конъюнкции областей объединяем дизъюнкцией.
Например (для Карт на 2 переменные):

${\displaystyle {\overline {X_{1}}}\ {\overline {X_{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {X_{1}}}\ X_{2}}$

${\displaystyle X_{1}\ X_{2}\ }$

${\displaystyle X_{1}\ {\overline {X_{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {X_{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {X_{1}}}}$

${\displaystyle {X_{2}}\ }$

${\displaystyle {X_{1}}\ }$

${\displaystyle S_{1}\vee S_{2}=}$

${\displaystyle S_{1}\vee S_{2}=}$

${\displaystyle S_{1}\vee S_{2}=}$

${\displaystyle S_{1}\vee S_{2}=}$

${\displaystyle S_{1}\vee S_{2}=}$

${\displaystyle S_{1}\vee S_{2}=}$

${\displaystyle =X_{1}X_{2}\vee }$

${\displaystyle =X_{1}{\overline {X_{2}}}\vee }$

${\displaystyle =X_{2}\vee X_{1}}$

${\displaystyle =X_{1}\vee {\overline {X_{2}}}}$

${\displaystyle ={\overline {X_{1}}}\vee {\overline {X_{2}}}}$

${\displaystyle =X_{2}\vee {\overline {X_{1}}}}$

${\displaystyle \vee {\overline {X_{1}}}\ {\overline {X_{2}}}}$

${\displaystyle \vee {\overline {X_{1}}}X_{2}}$

Для КНФ всё то же самое, только рассматриваем клетки с нулями, неменяющиеся переменные в пределах одной области объединяем в дизъюнкции (инверсии проставляем над единичными переменными), а дизъюнкции областей объединяем в конъюнкцию. На этом минимизация считается законченной. Так, для Карты Карно на рис. 1, выражение в формате ДНФ будет иметь вид:

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=S_{1}\vee S_{2}\vee S_{3}={\overline {X_{1}}}\ {\overline {X_{4}}}\vee X_{1}\ X_{2}\ X_{4}\vee {\overline {X_{4}}}{\overline {X_{2}}}}$

В формате КНФ:

${\displaystyle f(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=S_{1}S_{2}S_{3}=(X_{1}\vee {\overline {X_{4}}})(X_{2}\vee {\overline {X_{4}}})({\overline {X_{1}}}\vee {\overline {X_{2}}}\vee X_{4})}$

Так же из ДНФ в КНФ и обратно можно перейти, использовав Законы де Моргана.

Примеры

Пример 1

У мальчика Коли есть мама, папа, дедушка и бабушка. Коля пойдёт гулять на улицу, тогда и только тогда, когда ему разрешат хотя бы двое родственников.
Для краткости обозначим родственников Коли через буквы:
мама — х1
папа — х2
дедушка — х3

бабушка — х4

Условимся обозначать согласие родственников единицей, несогласие — нулём. Возможность пойти погулять обозначим буквой f, Коля идёт гулять — f = 1, Коля гулять не идёт — f = 0.
Составим таблицу истинности:

Перерисуем таблицу истинности в 2-хмерный вид:

Переставим в ней строки и столбцы в соответствии с кодом Грея (последний и предпоследний столбец меняют местами). Получили Карту Карно:

Заполним её значениями из таблицы истинности (первая строка не соответствует таблице истинности, так как f=0 и разрешения на гулять нет):

Минимизируем в соответствии с правилами:

1. 1. Все области содержат 2^n клеток;
2. 2. Так как Карта Карно на четыре переменные, оси располагаются на границах Карты и их не видно (подробнее смотри пример Карты на 5 переменных);
3. 3. Так как Карта Карно на четыре переменные, все области симметрично осей — смежные между собой (подробнее смотри пример Карты на 5 переменных);
4. 4. Области S3, S4, S5, S6 максимально большие;
5. 5. Все области пересекаются (необязательное условие);
6. 6. В данном случае рациональный вариант только один.

${\displaystyle f(X1,X2,X3,X4)=S1\vee S2\vee S3\vee S4\vee S5\vee S6=}$

${\displaystyle =X3X4\ \vee \ X1X2\ \vee \ X2X4\ \vee \ X1X4\ \vee \ X1X3\ \vee \ X2X3}$

Теперь по полученной минимальной ДНФ можно построить логическую схему:

Из-за отсутствия в наличии шестивходового элемента ИЛИ, реализующего функцию дизъюнкции, пришлось каскадировать пяти- и двух-входовые элементы (D7, D8).

Составим мин. КНФ:

${\displaystyle f(X1,X2,X3,X4)=(S1)\ (S2)\ (S3)\ (S4)=}$

${\displaystyle =(X1\vee X2\vee X3)(X1\vee X3\vee X4)(X2\vee X3\vee X4)(X1\vee X2\vee X4)}$

См. также

• ДНФ
• КНФ
• СДНФ
• СКНФ
• Минимизация логических функций методом Куайна
• Минимизация комбинационных схем
• en:Espresso heuristic logic minimizer
• Метод Куайна — Мак-Класки

Примечания

Ссылки

• Using Karnaugh maps in practical applications, Разработка схемы управления светофором.

Программное обеспечение

• Karnaugh Minimizer, Коммерческое Windows-приложение (часто работает некорректно, например для этого уравнения: 0,1,5,8,10,13).
• Logic Minimizer, Коммерческое Windows-приложение, но можно сделать, чтобы запускалось на Unix.
• Kmap minimizer Онлайн-приложение (Flash).
• GKMap, свободное ПО на SourceForge.net.
• Karnaugh Map Minimizer, бесплатное (но часто некорректно работающее) ПО на SourceForge.net.
• Gorgeous Karnaugh, коммерческое ПО Gorgeous Karnaugh для минимизации по картам Карно.

Литература

• Р.Токхейм Основы цифровой электроники — М.: Мир, 1988. — 392 с. (Глава 4, страницы 88—95)