В статистической радиотехнике и физике при изучении детерминированных сигналов и случайных процессов широко используется их спектральное представление в виде спектральной плотности, которая базируется на преобразовании Фурье.
Если процесс
имеет конечную энергию и квадратично интегрируем (а это нестационарный процесс), то для одной реализации процесса можно определить преобразование Фурье как случайную комплексную функцию частоты:
|
(1) |
Однако она оказывается почти бесполезной для описания ансамбля. Выходом из этой ситуации является отбрасывание некоторых параметров спектра, а именно спектра фаз, и построении функции, характеризующей распределение энергии процесса по оси частот. Тогда согласно теореме Парсеваля энергия
|
(2) |
Функция
характеризует, таким образом, распределение энергии реализации по оси частот и называется спектральной плотностью реализации. Усреднив эту функцию по всем реализациям можно получить спектральную плотность процесса.
Перейдем теперь к стационарному в широком смысле центрированному случайному процессу
, реализации которого с вероятностью 1 имеют бесконечную энергию и, следовательно, не имеют преобразования Фурье. Спектральная плотность мощности такого процесса может быть найдена на основании теоремы Винера-Хинчина как преобразование Фурье от корреляционной функции:
|
(3) |
Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование Фурье, которое по известной
определяет
:
|
(4) |
Если полагать в формулах (3) и (4) соответственно
и
, имеем
|
(5) |
|
(6) |
Формула (6) с учетом (2) показывает, что дисперсия определяет полную энергию стационарного случайного процесса, которая равна площади под кривой спектральной плотности. Размерную величину
можно трактовать как долю энергии, сосредоточенную в малом интервале частот от
до
. Если понимать под
случайный (флуктуационный) ток или напряжение, то величина
будет иметь размерность энергии [В2/Гц] = [В2с]. Поэтому
иногда называют энергетическим спектром. В литературе часто можно встретить другую интерпретацию:
– рассматривается как средняя мощность, выделяемая током или напряжением на сопротивлении 1 Ом. При этом величину
называют спектром мощности случайного процесса.
Свойства спектральной плотности
- Энергетический спектр стационарного процесса (вещественного или комплексного) – неотрицательная величина:
. |
(7) |
- Энергетический спектр вещественного стационарного в широком смысле случайного процесса есть действительная и четная функция частоты:
. |
(8) |
- Корреляционная функция
и энергетический спектр
стационарного в широком смысле случайного процесса обладают всеми свойствами, характерными для пары взаимных преобразований Фурье. В частности, чем «шире» спектр
тем «уже» корреляционная функция
, и наоборот. Этот результат количественно выражается в виде принципа или соотношения неопределенности.
Литература
- Зюко, А. Г. Теория передачи сигналов / А. Г. Зюко [и др.]. — М.: Связь, 1980. — 288 с.
- Тихонов, В. И. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем / В. И. Тихонов, В. Н. Харисов. — М.: Радио и связь, 2004. — 608 с. — ISBN 5-256-01701-2.
- Тихонов, В. И. Статистическая теория радиотехнических устройств / В. И. Тихонов, Ю. Н. Бакаев. — М.: Академия им. проф. Н. Е. Жуковского, 1978. — 420 с.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .