WikiSort.ru - Не сортированное

Зада́ча выполни́мости бу́левых фо́рмул (SAT или ВЫП) — важная для теории вычислительной сложности алгоритмическая задача.

Экземпляром задачи SAT является булева формула, состоящая только из имен переменных, скобок и операций ${\displaystyle \wedge }$ (И), ${\displaystyle \vee }$ (ИЛИ) и ${\displaystyle \neg }$ (HE). Задача заключается в следующем: можно ли назначить всем переменным, встречающимся в формуле, значения ложь и истина так, чтобы формула стала истинной.

Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971 году, задача SAT для булевых формул, записанных в конъюнктивной нормальной форме, является NP-полной. Требование о записи в конъюнктивной форме существенно, так как, например, задача SAT для формул, представленных в дизъюнктивной нормальной форме, тривиально решается за линейное время в зависимости от размера записи формулы (для выполнимости формулы требуется только наличие хотя бы одной конъюнкции, не содержащей одновременно x и NOT x для некоторой переменной x).

Точная формулировка

Чтобы чётко сформулировать задачу распознавания, необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. В своей книге Хопкрофт, Мотвани и Ульман предлагают использовать следующий алфавит: {"${\displaystyle \wedge }$ ", «${\displaystyle \vee }$ », «${\displaystyle \neg }$ », «${\displaystyle (}$ », «${\displaystyle )}$ », «${\displaystyle x}$ », «${\displaystyle 0}$ », «${\displaystyle 1}$ »}.

При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления.

Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину ${\displaystyle N}$ символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более ${\displaystyle N}$ переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью ${\displaystyle O\left(\log {N}\right)}$ символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину ${\displaystyle O\left(N\log {N}\right)}$ символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз.

Например, формула ${\displaystyle a\wedge \neg (b\vee c)}$ примет вид ${\displaystyle x1\wedge \neg (x10\vee x11)}$ .

Вычислительная сложность

В 1970-м году в статье Стивена Кука был впервые введен термин «NP-полная задача», и задача SAT была первой задачей, для которой доказывалось это свойство.

В доказательстве теоремы Кука каждая задача из класса NP в явном виде сводится к SAT. После появления результатов Кука была доказана NP-полнота для множества других задач. При этом чаще всего для доказательства NP-полноты некоторой задачи приводится полиномиальное сведение задачи SAT к данной задаче, возможно в несколько шагов, то есть с использованием нескольких промежуточных задач.

Частные случаи задачи SAT

Интересными важными частными случаями задачи SAT являются:

• Задача выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме (SATCNF или ВКНФ) — аналогичная задача, с наложенным на формулу условием: она должна быть записана в конъюнктивной нормальной форме. Задача ВКНФ также NP-полна.
• Задача выполнимости булевых формул в k-конъюнктивной нормальной форме (k-SAT или k-ВЫП) — задача выполнимости при условии, что формула записана в k-конъюнктивной нормальной форме. Эта задача является NP-полной при ${\displaystyle k\geq 3}$ .
• Задача выполнимости булевых формул в 2-конъюнктивной нормальной форме имеет полиномиальное решение, то есть принадлежит классу P.

CDCL-решатели

Одним из наиболее эффективных методов распараллеливания задач SAT являются CDCL-решатели (CDCL, англ. conflict-driven clause learning), основывающиеся на нехронологических вариантах алгоритма DPLL^[1][2].

См. также

• Satisfiability Modulo Theories
• SAT@home

Примечания

Ссылки

• The international SAT Competitions web page
• Sat Live — общий сайт о SAT.