WikiSort.ru - Не сортированное

Задача Тарского по школьной алгебре спрашивает, есть ли тождество над целыми положительными числами с использованием сложения, умножения и возведения в степень, которое не следует из набора тождеств, преподаваемых в школе.

Формулировка

Верно ли, что из следующих одиннадцати аксиом, которые мы будем называть школьными аксиомами:

1. x + y = y + x
2. (x + y) + z = x + (y + z)
3. x · 1 = x
4. x · y = y · x
5. (x · y) · z = x · (y · z)
6. x · (y + z) = x · y + x ·z
7. 1^x = 1
8. x¹ = x
9. x^y + z = x^y · x^z
10. (x · y)^z = x^z · y^z
11. (x^y)^z = x^y · z.

следует любое тождество над целыми положительными числами с использованием сложения, умножения и возведения в степень?

История

Этот список из одиннадцати аксиом был выписан Рихардом Дедекиндом,^[1] хотя все эти тождества были известны задолго до этого.

Задача о выводимости всех тождеств была сформулирован Альфредом Тарским. Точная формулировка использует теорию моделей. В 1980-х она стала известна как задача Тарского по школьной алгебре.

В 1980 году Алекс Вилки доказал, что тождество

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left((1+x)^{y}+(1+x+x^{2})^{y}\right)^{x}\cdot \left((1+x^{3})^{x}+(1+x^{2}+x^{4})^{x}\right)^{y}=\\={}&\left((1+x)^{x}+(1+x+x^{2})^{x}\right)^{y}\cdot \left((1+x^{3})^{y}+(1+x^{2}+x^{4})^{y}\right)^{x}.\end{aligned}}}$

не выводится из набора школьных аксиом.^[2]

Примечания