WikiSort.ru - Не сортированное

Существование решения

Если функция ${\displaystyle F}$ непрерывна для всех ${\displaystyle (x,\,y)\in {\bar {\Omega }}}$ и для любых ${\displaystyle u,\;p=u_{x},\;q=u_{y}}$ допускает производные ${\displaystyle F_{u},\;F_{p},\;F_{q}}$ , которые по абсолютной величине меньше некоторого числа, то в области ${\displaystyle {\bar {\Omega }}}$ существует единственное и устойчивое решение.

Метод Римана

Рассматривается линейный случай. Исходное уравнение принимает вид ${\displaystyle Lu\equiv u_{xy}+au_{x}+bu_{y}+cu=f}$ .

Вводится функция Римана ${\displaystyle R(x,\,y;\;\xi ,\,\eta )}$ , которая однозначно определяется как решение уравнения

${\displaystyle R_{xy}-(aR)_{x}-(bR)_{y}+cR=0}$ ,

удовлетворяющее условиям

${\displaystyle R(\xi ,\,y;\;\xi ,\,\eta )=\exp \int \limits _{\eta }^{y}a(\xi ,\,t)dt}$

${\displaystyle R(x,\,\eta ;\;\xi ,\eta )=\exp \int \limits _{\xi }^{x}b(t,\,\eta )dt}$

где ${\displaystyle (\xi ,\,\eta )\in \Omega }$ — произвольная точка.

Решение задачи Гурса в линейном случае в «Энциклопедии» дается при ${\displaystyle \varphi =\psi \equiv 0}$

${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{x}d\xi \int \limits _{1}^{y}R(\xi ,\,\eta ;\;x,\,y)f(x,y)d\eta }$

Метод последовательных приближений

Рассматривается два случая

1. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=f(x,\,y)}$

Последовательно интегрируя исходное уравнение получаем аналитическую формулу

${\displaystyle u(x,\,y)=\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$

Из этой формулы следует существование и единственность решения данной задачи.

1. ${\displaystyle F(x,\,y,\,u,\,u_{x},\,u_{y})=au_{x}+bu_{y}+cu+f}$

Исходное уравнение преобразуется к интегро-дифференциальному уравнению

${\displaystyle u(x,\,y)=\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}\left[au_{\xi }+bu_{\eta }+cu\right]d\xi d\eta +\varphi _{1}(x)+\varphi _{2}(y)-\varphi _{1}(0)+\int \limits _{0}^{y}\int \limits _{0}^{x}f(\xi ,\,\eta )d\xi d\eta }$

Это уравнение решается методом последовательных приближений. Нулевое приближение ${\displaystyle u_{0}(x,\,y)=0}$ подставляется в интегро-дифференциальное уравнение. Результат принимается в качестве первого приближения, которое в свою очередь подставляется в интегро-дифференциальное уравнение и т. д. Таким образом получается бесконечная последовательность ${\displaystyle \left\{u_{n}(x,\,y)\right\}}$ . Далее доказывается сходимость данной последовательности и находится её предел ${\displaystyle u(x,\,y)=\lim _{n\to \infty }u_{n}(x,\,y)}$ . Этот предел и есть решение задачи.