WikiSort.ru - Не сортированное

О дискретном эквиваленте преобразования Лапласа см. Z-преобразование.

В математике дискретный оператор Лапласа — аналог непрерывного оператора Лапласа, определяемого как отношения на графе или дискретной сетке. В случае конечномерного графа (имеющего конечное число вершин и рёбер) дискретный оператор Лапласа имеет более общее название: матрица Лапласа.

Понятие о дискретном операторе Лапласа происходит из таких физических проблем, как модель Изинга и петлевая квантовая гравитация, а также из изучения динамических систем. Этот оператор используется также в вычислительной математике как аналог непрерывного оператор Лапласа. Будучи известным как фильтр Лапласа, часто находит приложение в обработке изображений. Кроме того, оператор используется в машинном обучении для кластеризации и полуавтоматического обучения на графах соседства.

Определение

Спектр

Спектр дискретного лапласиана представляет ключевой интерес; когда он имеет самосопряжённый спектр, он действителен. Если ${\displaystyle \Delta =I-M}$ , то спектр лежит в отрезке ${\displaystyle [0,2]}$ (в то время как у усредняющего оператора его спектральные значения в ${\displaystyle [-1,1]}$ ) и содержит ноль (для постоянных функций). Наименьшее ненулевое собственное число ${\displaystyle \lambda _{1}}$ называют спектральной щелью. Обычно различают и понятие о спектральном радиусе, определяемом обычно как наибольшее собственное число.

Собственные вектора не зависят от условностей (для регулярных графов), и они схожи с собственными векторами усредняющего оператора (различаясь добавлением), хотя собственные значения могут различаться в зависимости от соглашения.

Теоремы

Если граф представляет собой бесконечную квадратную решётку, то его определение лапласиана можно связать с непрерывным лапласианом через предел бесконечной решётки. К пример, в одномерном случае мы имеем

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {[F(x+\epsilon )-F(x)]+[F(x-\epsilon )-F(x)]}{\epsilon ^{2}}}.}$

Это определение лапласиана часто используется в вычислительной математике и обработке изображений. В последнем случае оно рассматривается как разновидность цифрового фильтра, как граничный фильтр, называемый фильтром Лапласа.

Дискретный оператор Шрёдингера

Пусть ${\displaystyle P:V\rightarrow R}$ есть потенциал, заданный на графе. Заметим, что P можно рассматривать и как мультипликативный оператор, действующий диагонально на ${\displaystyle \phi }$ :

${\displaystyle (P\phi )(v)=P(v)\phi (v).}$

Тогда ${\displaystyle H=\Delta +P}$ есть дискретный оператор Шрёдингера, аналог непрерывного оператора Шрёдингера.

Если количество рёбер вершины равномерно ограничено, то H — ограниченный и самосопряжённый.

Спектральные свойства его гамильтониана могут быть получены из теоремы Стоуна; это следствие из двойственности между частично упорядоченными множествами и булевой алгеброй.

На регулярных решётках оператор обычно имеет и бегущую волну, и решения локализации Андерсона — в зависимости от периодичности или случайности потенциала.

Дискретная функция Грина

Функция Грина дискретного оператора Шрёдингера задана резольвентой линейного оператора:

${\displaystyle G(v,w;\lambda )=\langle \delta _{v}|{\frac {1}{H-\lambda }}|\delta _{w}\rangle }$

где ${\displaystyle \delta _{w}}$ понимается как символ Кронекера на графе: ${\displaystyle \delta _{w}(v)=\delta _{wv}}$ , то есть это равно 1, если v=w, и 0 иначе.

Для фиксированного ${\displaystyle w\in V}$ и комплексного ${\displaystyle \lambda }$ , функция Грина рассматривается как функция от v, уникальное решение уравнения

${\displaystyle (H-\lambda )G(v,w;\lambda )=\delta _{w}(v).}$

См. также

• Матрица Лапласа

Ссылки

• Определение и приложение спектральной щели