WikiSort.ru - Не сортированное

В алгебре деление многочленов столбиком (или уголком) — алгоритм деления многочлена ${\displaystyle f(x)}$ на многочлен ${\displaystyle g(x)}$ , степень которого меньше или равна степени многочлена ${\displaystyle f(x)}$ . Алгоритм представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов ${\displaystyle f(x)}$ и ${\displaystyle g(x)}$ , ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ , существуют единственные многочлены ${\displaystyle q(x)}$ и ${\displaystyle r(x)}$ , такие что

${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x)}}}$ ,

причем ${\displaystyle r(x)}$ имеет более низкую степень, чем ${\displaystyle g(x)}$ .

Целью алгоритма деления многочленов в столбик является нахождение частного ${\displaystyle q(x)}$ и остатка ${\displaystyle r(x)}$ для заданных делимого ${\displaystyle f(x)}$ и ненулевого делителя ${\displaystyle g(x)}$ ^[1].

Пример

Покажем, что

${\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=x^{2}-9x-27-{\frac {123}{x-3}}}$

Частное и остаток от деления могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:

1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой ${\displaystyle \left(x^{3}/x=x^{2}\right)}$ .

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\\qquad \qquad \qquad \quad \;\vert x^{2}\\\end{matrix}}}$

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого ${\displaystyle \left(x^{2}\cdot \left(x-3\right)=x^{3}-3x^{2}\right)}$ .

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\vert x^{2}\quad \;\\\end{matrix}}}$

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой ${\displaystyle \left(x^{3}-12x^{2}+0x-42-\left(x^{3}-3x^{2}\right)=-9x^{2}+0x-42\right)}$ .

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+0x-42{\underline {\vert x-3}}\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;}}\vert x^{2}\quad \;\\-9x^{2}+0x-42\;\;\end{matrix}}}$

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\quad \\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\quad \;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\quad \;\;\\\quad \;-27x-42\end{matrix}}}$

5. Повторяем шаг 4.

${\displaystyle {\begin{matrix}x^{3}-12x^{2}+\;\;0x-42\vert x-3\qquad \quad \;\\{\underline {x^{3}\;\;-3x^{2}\qquad \qquad \;\;\;\;}}{\overline {\vert x^{2}-9x-27}}\\-9x^{2}\;\;+0x-42\qquad \quad \;\;\;\\{\underline {-9x^{2}+27x\qquad \;}}\qquad \quad \;\;\;\\-27x-42\quad \\{\underline {-27x+81}}\quad \\\quad \;-123\end{matrix}}}$

6. Конец алгоритма.

Таким образом, многочлен ${\displaystyle q(x)=x^{2}-9x-27}$  — частное деления, а ${\displaystyle r(x)=-123}$  — остаток.

См. также

• Схема Горнера
• Теорема Безу
• Правило Руффини
• Евклидово кольцо
• Базис Грёбнера
• Наибольший общий делитель двух многочленов (англ.)
• Синтетическое деление (англ.)

Примечания