Определение
Пусть C — категория с терминальным объектом 1, в которой для любых двух объектов существует их произведение. Групповой объект в C — это объект G категории C вместе с тройкой морфизмов:
- m : G × G → G (морфизм, соответствующий «групповой операции»)
- e : 1 → G («вложение тождественного элемента»)
- inv: G → G («взятие обратного элемента»),
для которых должны выполняться следующие свойства (соответствующие аксиомам группы):
- m ассоциативен, то есть
и
— один и тот же морфизм
(здесь мы каноническим образом отождествляем
и
);
- e является двусторонне нейтральным элементом, то есть
где
— естественная проекция на второй множитель, и
где
— естественная проекция на первый множитель;
- обратный элемент действительно является обратным, то есть, если d : G → G × G — диагональное отображение, а eG : G → G — композиция единственного морфизма G → 1 и морфизма e, то
Примеры
- Группы — это в точности групповые объекты в категории множеств. Здесь m — бинарная операция умножения, e — функция, отправляющая множество-синглетон в тождественный элемент группы, inv сопоставляет элементу группы обратный элемент, а eG отправляет все элементы группы в тождественный.
- Топологическая группа — групповой объект в категории топологических пространств и непрерывных отображений.
- Группа Ли — групповой объект в категории гладких многообразий и гладких отображений.
- Алгебраическая группа — групповой объект в категории алгебраических многообразий и регулярных отображений. В современной алгебраической геометрии рассматривают также более общее полнятие групповой схемы[en] — группового объекта в категории схем.
- Групповые объекты в категории групп — это в точности абелевы группы. Действительно, если G — абелева группа, то m, e и inv, определённые обычным образом, удовлетворяют свойствам группового объекта (в частности, из абелевости группы G следует, что inv является гомоморфизмом). Обратно, если (G, m, e, inv) — групповой объект в категории групп, можно доказать, что операция m совпадает с изначальной операцией на группе G, из чего следует, что e и inv также определены обычным образом. См. также аргумент Экманна — Хилтона[en].
- Если C — категория с конечными копроизведениями (в частности, с начальным объектом 0, являющимся копроизведением пустого множества объектов), когрупповой объект категории C — это объект G вместе со следующими морфизмами: «коумножением» m: G → G
G, «коединицей» e: G → 0 и «кообращением» inv: G → G, которые удовлетворяют аксиомам, двойственным к перечисленым выше аксиомам группового объекта. Когрупповые объекты естественно возникают в алгебраической топологии.
Ссылки
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
- Lang, Serge (2002), Algebra. — Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag — ISBN 978-0-387-95385-4.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .