WikiSort.ru - Не сортированное

Получение значения g из закона всемирного тяготения

Согласно закону всемирного тяготения, сила земной гравитации, действующая на тело, определяется формулой

${\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}=\left(G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}\right)m_{2}}$ ,

где r — расстояние между центром Земли и телом (см. ниже), m₁ — масса Земли и m₂ — масса тела.

Кроме того, согласно второму закону Ньютона, F = ma, где m — масса и a — ускорение,

${\displaystyle F=m_{2}g}$

Из сопоставления двух формул видно, что

${\displaystyle g=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}}$

Таким образом, чтобы найти получить значение ускорения силы тяжести g на уровне моря, необходимо в формулу подставить значения гравитационной постоянной G, массы Земли (в килограммах) m₁ и радиуса Земли (в метрах) r :

${\displaystyle g=G{\frac {m_{1}}{r^{2}}}=(6.67384\times 10^{-11}){\frac {5.9722\times 10^{24}}{(6.371\times 10^{6})^{2}}}=9.8196{\mbox{m}}\cdot {\mbox{s}}^{-2}}$

Следует отметить, что эта формула правомерна для сферического тела при допущении, что вся его масса сосредоточена в его центре. Это позволяет нам использовать величину радиуса Земли для r.

Существуют значительные неопределенности значений r и m₁, а также значения гравитационной постоянной G, которую трудно точно измерить.

Если G,g и r известны, то решение обратной задачи позволит получить величину массы Земли.

Высотная поправка

Первая поправка для стандартных математических моделей, так называемая высотная аномалия (англ.)русск., позволяет учесть изменение величины g в зависимости от высоты над уровнем моря^[7]. Используем значения массы и радиуса Земли:

${\displaystyle r_{\mathrm {Earth} }=6.371\times 10^{6}\,\mathrm {m} }$

${\displaystyle m_{\mathrm {Earth} }=5.9722\times 10^{24}\,\mathrm {kg} }$

Поправочный коэффициент (Δg) может быть получены из соотношения между ускорением силы тяжести g и гравитационной постоянной G:

${\displaystyle g_{0}=G\,m_{\mathrm {Earth} }/r_{\mathrm {Earth} }^{2}=9.8196\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}$ , где:

${\displaystyle G=6.67384\times 10^{-11}\,{\frac {\mathrm {m} ^{3}}{\mathrm {kg} \cdot \mathrm {s} ^{2}}}.}$ .

На высоте h над поверхностью Земли g_h рассчитывается по формуле:

${\displaystyle g_{h}=G\,m_{\mathrm {Earth} }/\left(r_{\mathrm {Earth} }+h\right)^{2}}$

Так, высотная поправка для высоты h может быть выражена:

${\displaystyle \Delta g_{h}=\left[G\,m_{\mathrm {Earth} }/\left(r_{\mathrm {Earth} }+h\right)^{2}\right]-\left[G\,m_{\mathrm {Earth} }/r_{\mathrm {Earth} }^{2}\right]}$ .

Это выражение может быть легко использовано для программирования или включения в таблицу. Упрощая и пренебрегая малыми величинами (h<<r_Earth), получаем хорошее приближение:

${\displaystyle \Delta g_{h}\approx -\,{\dfrac {G\,m_{\mathrm {Earth} }}{r_{\mathrm {Earth} }^{2}}}\times {\dfrac {2\,h}{r_{\mathrm {Earth} }}}}$ .

Используя приведённые выше численные значения выше, и высоту h в метрах, получим:

${\displaystyle \Delta g_{h}\approx -3.083\times 10^{-6}\,h}$

Учитывая широту местности и высотную поправку, получаем:

${\displaystyle g_{\phi ,h}=9.780327\left(1+0.0053024\sin ^{2}\phi -0.0000058\sin ^{2}2\phi \right)-3.086\times 10^{-6}h}$ ,

где ${\displaystyle \ g_{\phi ,h}}$  — ускорение свободного падения на широте ${\displaystyle \ \phi }$ и высоте h. Это выражение можно также представить в следующем виде:

${\displaystyle g_{\phi ,h}=9.780327\left[\left(1+0.0053024\sin ^{2}\phi -0.0000058\sin ^{2}2\phi \right)-3.155\times 10^{-7}h\right]\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} ^{2}}}}$ .