WikiSort.ru - Не сортированное

Гипотеза Морделла — гипотеза о конечности множества рациональных точек на алгебраической кривой рода ${\displaystyle g>1}$ . Выдвинута Морделлом в 1922 году. Позже гипотеза была обобщена с поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ на произвольное числовое поле. Была доказана Фальтингсом в 1983 году и теперь также называется теоремой Фальтингса.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle C}$  — неособая алгебраическая кривая рода ${\displaystyle g}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ . Тогда множество рациональных точек ${\displaystyle C}$ следующее:

• Случай ${\displaystyle g=0}$ : рациональных точек нет, либо бесконечно много; ${\displaystyle C}$ является коническим сечением.
• Случай ${\displaystyle g=1}$ : рациональных точек нет, либо ${\displaystyle C}$ является эллиптической кривой, а её рациональные точки образуют конечнопорождённую абелеву группу. (Это теорема Морделла, позднее обобщённая до теоремы Морделла — Вейля). Более того теорема Мазура о кручении ограничивает возможную структуру подгруппы кручения.
• Случай ${\displaystyle g>1}$ : в соответствии с гипотезой Морделла, сейчас теоремой Фалгтинса, ${\displaystyle C}$ имеет конечное число рациональных точек.

Доказательство

Доказательство Фальтингса использует известный способ сведения гипотезы к случаю гипотезы Тэйта и инструменты алгебраической геометрии, включая теорию Neron model. Другое доказательство, основанное на диофантовых аппроксимациях, было дано Пауло Войта. Более элементарный вариант доказательства Войта был дан Энрико Бомбьери.

Следствия

Фальтингс в своей работе 1983 года доказал несколько утверждений, ранее считавшихся гипотезами:

• Гипотезу Морделла о том, что кривая рода больше чем 1 над числовым полем имеет лишь конечное число рациональных точек;
• Гипотезу Шафаревича;
• Теорему isogeny.

Сведение гипотезы Морделла к гипотезе Шафаревича было сделано Паршиным в 1971 году.

Простейшее приложение теоремы Фальтингса — это слабая форма Великой теоремы Ферма: для любого выбранного ${\displaystyle n>4}$ существует лишь конечное число взаимно простых решений уравнения ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ , для таких n кривая ${\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}$ имеет род, больший 1.

Обобщения

В силу теоремы Морделла — Вейля, теорема Фальтингса может быть переформулирована как утверждение о пересечении кривой ${\displaystyle C}$ с конечно порождённой подгруппой ${\displaystyle \Gamma }$ абелева многообразия ${\displaystyle A}$ . Заменяя ${\displaystyle C}$ на произвольное подмногообразие ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \Gamma }$ на произвольную подгруппу конечного ранга ${\displaystyle A}$ , мы получаем обобщение, ведущее к гипотезе Морделла — Ленга, которая была доказана.

Другое обобщение теоремы Фальтингса — это Гипотеза Бомбьерри — Ленга, утверждающая, что если ${\displaystyle X}$  — псевдоканоническое многообразие (то есть многообразие общего типа) над конечным полем ${\displaystyle k}$ , то множество ${\displaystyle k}$ -рациональных точек ${\displaystyle X(k)}$ нигде не плотно в топологии Зарисского в ${\displaystyle X}$ . Более общие гипотезы были выдвинуты потом Паулем Войта.

Гипотеза Морделла для полей функций была доказана Маниным в 1963 году и Grauert-ом в 1965 году. Coleman в 1990 году нашёл и исправил пробел в доказательстве Манина.

Литература

• Mordell, L. J. On the rational solutions of the indeterminate equations of the third and fourth degrees. Cambr. Phil. Soc. Proc. 21, 179—192 (1922).
• Faltings, G. Die Vermutungen von Tate und Mordell. Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 86 (1984), no. 1, 1—13.
• А. Ю. Вайнтроб, А. Б. Сосинский. «Доказательство гипотезы Морделла». — Квант, 1984. — № 3.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2016. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-507-1.

Ссылки

• Bombieri, Enrico (1990). “The Mordell conjecture revisited”. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. 17 (4): 615—640.
• Coleman, Robert F. (1990). “Manin's proof of the Mordell conjecture over function fields”. L'Enseignement Mathematique. Revue Internationale. IIe Serie. 36 (3): 393—427. ISSN 0013-8584. MR 1096426. Архивировано из оригинала 2011-10-02. Проверено 2014-11-10Шаблон:Inconsistent citations
• Cornell, Gary. Arithmetic geometry. — New York : Springer, 1986. — ISBN 0-387-96311-1. > Contains an English translation of Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). “Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern”. Inventiones Mathematicae. 73 (3): 349—366. DOI:10.1007/BF01388432.
• Grauert, Hans (1965). “Mordells Vermutung uber rationale Punkte auf algebraischen Kurven und Funktionenkorper”. Publications Mathématiques de l'IHÉS (25): 131—149. ISSN 1618-1913. MR 0222087Шаблон:Inconsistent citations
• Hindry, Marc. Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 2000. — Vol. 201. — ISBN 0-387-98981-1. > Gives Vojta’s proof of Falting’s Theorem.
• S. Lang. Survey of Diophantine geometry. — Springer-Verlag, 1997. — P. 101–122. — ISBN 3-540-61223-8.
• Manin, Ju. I. (1963). “Rational points on algebraic curves over function fields”. Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya. 27: 1395—1440. ISSN 0373-2436. MR 0157971Шаблон:Inconsistent citations
• Mordell, Louis J. (1922). “On the rational solutions of the indeterminate equation of the third and fourth degrees”. Proc. Cambridge Philos. Soc. 21: 179—192.
• Parsin, A. N. Quelques conjectures de finitude en geometrie diophantienne // Actes du Congres International des Mathematiciens (Nice, 1970), Tome 1. — Gauthier-Villars, 1971. — P. 467–471.
• Parshin, A. N. (2001), "M/m064910", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.