WikiSort.ru - Не сортированное

Аттрактор Рёсслера — хаотический аттрактор, которым обладает система дифференциальных уравнений Рёсслера^[1]:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y-z\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\\{\frac {dz}{dt}}=b+z(x-c)\end{matrix}}\right.}$ ;

где ${\displaystyle a,b,c}$  — положительные постоянные. При значениях параметров ${\displaystyle a=b=0,2}$ и ${\displaystyle 2,6\leq c\leq 4,2}$ уравнения Рёсслера обладают устойчивым предельным циклом. При этих значениях параметров период и форма предельного цикла совершают последовательность удвоения периода. Сразу же за точкой ${\displaystyle c=4,2}$ возникает явление хаотического аттрактора. Чётко определённые линии предельных циклов расплываются и заполняют фазовое пространство бесконечным счетным множеством траекторий, обладающим свойствами фрактала.

Сам Рёсслер изучал систему при постоянных ${\displaystyle a=0.2}$ , ${\displaystyle b=0.2}$ и ${\displaystyle c=5.7}$ , но также часто используются и значения ${\displaystyle a=0.1}$ , ${\displaystyle b=0.1}$ , и ${\displaystyle c=14}$ ^[2].

Иногда аттракторы Рёсслера строятся для плоскости, то есть с ${\displaystyle z=0}$ .

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{dt}}=-y\\{\frac {dy}{dt}}=x+ay\end{matrix}}\right.}$

Устойчивые решения для ${\displaystyle x,y}$ могут быть найдены вычислением собственного вектора матрицы Якоби вида ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&a\\\end{pmatrix}}}$ , для которой ${\displaystyle {\frac {a\pm {\sqrt {a^{2}-4}}}{2}}}$ .

Отсюда видно, что когда ${\displaystyle 0<a<2}$ , собственные вектора являются комплексными и имеют положительные вещественные компоненты, что и делает аттрактор неустойчивым. Теперь будем рассматривать плоскость ${\displaystyle Z}$ в том же диапазоне ${\displaystyle a}$ . Пока ${\displaystyle x}$ меньше ${\displaystyle c}$ , параметр ${\displaystyle c}$ будет удерживать траекторию близкую к плоскости ${\displaystyle x,y}$ . Как только ${\displaystyle x}$ станет больше ${\displaystyle c}$ , ${\displaystyle z}$ -координата начнёт увеличиваться, а чуть позже параметр ${\displaystyle -z}$ будет тормозить рост ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ .

Точки равновесия

Для того, чтобы найти точки равновесия, три уравнения Рёсслера приравниваются нулю и ${\displaystyle xyz}$ -координаты каждой точки равновесия находятся путём решения полученных уравнений. В итоге:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2}}\\y=-\left({\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\right)\\z={\frac {c\pm {\sqrt {c^{2}-4ab}}}{2a}}\end{matrix}}\right.}$

Как показано в общих уравнениях аттрактора Рёсслера, одна из этих неподвижных точек находится в центре аттрактора, а другие лежат сравнительно далеко от центра.

Изменение параметра b

Зафиксируем ${\displaystyle a=0.2}$ , ${\displaystyle c=5.7}$ и будем менять теперь параметр ${\displaystyle b}$ . Как видно из рисунка, при ${\displaystyle b}$ стремящемся к нулю аттрактор неустойчив. Когда ${\displaystyle b}$ станет больше ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle c}$ , система уравновесится и перейдёт в станционарное состояние.

Изменение параметра c

Зафиксируем ${\displaystyle a=b=0.1}$ и будем изменять ${\displaystyle c}$ . Из бифуркационной диаграммы видно, что при маленьких ${\displaystyle c}$ система периодична, но при увеличении быстро становится хаотичной. Рисунки показывают, как именно меняется хаотичность системы при увеличении ${\displaystyle c}$ . Например при ${\displaystyle c}$ = 4 аттрактор будет иметь период равный единице, и на диаграмме будет одна единственная линия, то же самое повторится когда ${\displaystyle c}$ = 3 и так далее; пока ${\displaystyle c}$ не станет больше 12: последнее периодичное поведение характеризуется именно этим значением, дальше повсюду идёт хаос.

Приведём иллюстрации поведения аттрактора в указанном диапазоне значений ${\displaystyle c}$ , которые иллюстрируют общее поведение таких систем — частые переходы от периодичности к динамическому хаосу.

Примечания

Ссылки

• Флэш-анимация
• O.E. ROSSLER — AN EQUATION FOR CONTINUOUS CHAOS
• Java-анимация аттракторов Рёсслера и Лоренца
• Конструктор аттракторов для MacOS
• Аттрактор Рёсслера на Scholarpedia.org

Литература

• Воронов В. К., Подоплелов А. В. Современная физика: Учебное пособие. М., КомКнига, 2005, 512 с., ISBN 5-484-00058-0, гл. 2 Физика открытых систем. п.п 2.4 Хаотический аттрактор Рёсслера.