WikiSort.ru - Не сортированное

Аннуите́т (фр. annuité от лат. annuus — годовой, ежегодный) или финансовая рента — общий термин, описывающий график погашения финансового инструмента (выплаты вознаграждения или уплаты части основного долга и процентов по нему), когда выплаты устанавливаются периодически равными суммами через равные промежутки времени. Аннуитетный график отличается от такого графика погашения, при котором выплата всей причитающейся суммы происходит в конце срока действия инструмента, или графика, при котором на периодической основе выплачиваются только проценты, а вся сумма основного долга подлежит к оплате в конце.

Сумма аннуитетного платежа включает в себя основной долг и вознаграждение.

В широком смысле, аннуитетом может называться как сам финансовый инструмент, так и сумма периодического платежа, вид графика погашения финансового инструмента или другие производные понятия, оттенки значения. Аннуитетом, например, является:

• Один из видов срочного государственного займа, по которому ежегодно выплачиваются проценты, и погашается часть суммы.
• Равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему.
• В страховании жизни — договор со страховой компанией, по которому физическое лицо приобретает право на регулярное получение согласованных сумм, начиная с определённого времени, например, выхода на пенсию^[1].
• Современная стоимость серии регулярных страховых выплат, производимых с определенной периодичностью в течение срока, установленного договором страхования.

Аннуитетный график также может использоваться для того, чтобы накопить определённую сумму к заданному моменту времени, внося равновеликие вклады на счёт или депозит, по которому начисляется вознаграждение.

Виды аннуитетов

По времени выплаты первого аннуитетного платежа различают:

• аннуитет постнумерандо — выплата осуществляется в конце первого периода,
• аннуитет пренумерандо — выплата осуществляется в начале первого периода.

Коэффициент аннуитета

Коэффициент аннуитета превращает разовый платёж сегодня в платёжный ряд. С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту:

${\displaystyle K={\frac {i\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$ ,

где ${\displaystyle i}$  — процентная ставка за один период, ${\displaystyle n}$  — количество периодов на протяжении всего действия аннуитета (количество операций по капитализации процентов). На практике возможны некоторые отличия от математического расчёта, вызванные округлением, а также неодинаковой продолжительностью месяца и года; особенно это касается последнего по сроку платежа.

Предполагается, что выплаты производятся постнумерандо, то есть в конце каждого периода. И тогда величина периодической выплаты ${\displaystyle A=K\cdot S}$ , где ${\displaystyle S}$  — величина кредита.

Пример расчёта. Рассчитаем ежемесячную выплату по трехлетнему кредиту суммой 12000 долларов по ставке 6 % годовых. Поскольку выплаты будут производиться каждый месяц, необходимо привести процентную ставку из годового значения к месячному:

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{100\%+6\%}}-1={\sqrt[{12}]{1,06}}-1\approx 1,00487-1=0,00487=0,487\%}$ .

Подставляем в указанную выше формулу следующие значения: ${\displaystyle i=0,00487}$ , ${\displaystyle n=36}$ . Полученный коэффициент умножаем на сумму кредита — 12000. Получаем около 364 долларов 20 центов в месяц.

Обычно погашение долга предусматривает ежемесячные или ежеквартальные выплаты, и задаётся годовая процентная ставка ${\displaystyle i}$ . Если выплаты производятся постнумерандо ${\displaystyle m}$ раз в год в течение ${\displaystyle n}$ лет, то точная формула для коэффициента аннуитета:

${\displaystyle K={\frac {({\sqrt[{m}]{1+i}})^{k}}{({\sqrt[{m}]{1+i}})^{k}-1}}\cdot ({\sqrt[{m}]{1+i}}-1)={\frac {({\sqrt[{m}]{1+i}}-1)\cdot (1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}}$

или по упрощенной формуле:

${\displaystyle K={\frac {{\sqrt[{m}]{1+i}}-1}{1-(1+i)^{-n}}}}$ ,

где ${\displaystyle k}$ (всегда показатель степени) — количество периодов = ${\displaystyle n\cdot m}$ .

Представленная здесь формула коэффициента аннуитета основана на определении наращенной суммы долга с использованием формулы сложных процентов. Существует формула коэффициента аннуитета, основанная на определении наращенной суммы долга по формуле простых процентов. Кардинальное отличие простых процентов в отсутствии промежуточной капитализации процентов, поэтому при расчёте простыми процентами сначала производится выплата основного долга, а после того, как весь долг выплачен, начинается выплата (капитализация) процентов.

Сначала производится расчёт ${\displaystyle [m]=[{\frac {{\sqrt[{}]{(p+2)^{2}+8pn}}-(p+2)}{2p}}]}$

Затем ${\displaystyle m={\frac {2n+[m][m+1]p}{2[m+1]p+2}}}$

${\displaystyle X={\frac {K}{m}}}$

Где n -количество месяцев кредита,

y — годовая процентная ставка

p = ${\displaystyle y/12}$  — месячная процентная ставка

K — размер кредита

m — количество месяцев выплаты основного долга

[m] — целое число от m

X — ежемесячный аннуитетный платеж

Пример. n=12,y=120 %=1.2,p=10 %=0.1,K=100000,

тогда [m]=8, m=8.21052631578947

X=12179.49

Пример расчёта кредита аннуитетными платежами

Расчёт равных месячных платежей (X), необходимых для выплаты ипотечной ссуды (P) в 100 тыс. руб. с процентной ставкой (r) 10 % годовых/100, взятой на (n) 20 лет.

${\displaystyle {\sqrt[{12}]{1+r}}\approx 1,007974}$

Месячный платеж ${\displaystyle X={\frac {P({\sqrt[{12}]{1+r}})^{12n}\cdot ({\sqrt[{12}]{1+r}}-1)}{({\sqrt[{12}]{1+r}})^{12n}-1}}={\frac {100000\cdot 1,007974^{240}\cdot (1,007974-1)}{1,007974^{240}-1}}=936,64}$ ;^[2]

Пример расчёта с учётом количества дней в месяцах и годах

Итого сумма процентов за 20 лет составляет 124668,85 руб.

Банковский расчёт аннуитета

По сложившейся практике банк считает аннуитетный платеж по следующей формуле

${\displaystyle Pl={\frac {S\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}})^{-T}}}}$ ,^[3]

где

${\displaystyle Pl}$ - ежемесячный аннуитетный платеж

${\displaystyle S}$ - кредит

${\displaystyle P_{godovaya}}$ - годовая процентная ставка

${\displaystyle T}$ -количество месяцев кредита

Пример

Пусть ${\displaystyle S}$ =100000, ${\displaystyle P_{godovaya}}$ =120 %,${\displaystyle T}$ =12

Тогда${\displaystyle Pl={\frac {S\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}})^{-T}}}={\frac {100000\cdot {\frac {120\%}{12\cdot 100\%}}}{1-(1+{\frac {120\%}{12\cdot 100\%}})^{-12}}}\approx 14676,33}$

Однако, в ст. 6 353-ФЗ «О ПОТРЕБИТЕЛЬСКОМ КРЕДИТЕ (ЗАЙМЕ)»^[4] , формула имеет вид

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=0}$

Она основана на формуле

${\displaystyle -S+\sum _{k=2}^{13}D_{k}=0}$

где ${\displaystyle S}$  — кредит

${\displaystyle D_{k}-k}$ -ое погашение основного долга

${\displaystyle DP_{1}=-S}$

${\displaystyle D_{1}={\frac {-S}{(1+0,1)^{k-1}}}=-S}$

расчёт должен быть таким

По логике законодателя, если в расчёте отсутствуют комиссии, то ПСК=${\displaystyle P_{godovaya}}$

Поскольку погашение происходит точно каждый месяц, поэтому в формуле ст. 6 все ${\displaystyle e_{k}=0}$ , ${\displaystyle q_{k}=k-1}$ , ${\displaystyle m=T+1}$ ,ЧБП=12, ${\displaystyle T}$ =12, ${\displaystyle DP_{k}=14676,33}$ при ${\displaystyle k=2...13}$ , ${\displaystyle S=100000}$ , ${\displaystyle i}$ =ПСК/ЧБП/100%=120 %/12/100%=0,1 и формула преобразуется в

${\displaystyle -100000+\sum _{k=2}^{13}{\frac {14676,33}{(1+0,1)^{k-1}}}=0}$

Отсюда ${\displaystyle D_{k}={\frac {14676,33}{(1+0,1)^{k-1}}}}$ для ${\displaystyle k=2...13}$

Действительно, в таблице, например, ${\displaystyle D_{13}={\frac {14676,33}{(1+0,1)^{12}}}\approx 4676,33}$

При этом проценты (${\displaystyle P_{k}}$ ) рассчитываются по формуле

${\displaystyle P_{k}=D_{k}((1+0,1)^{k-1}-1)}$

Например, для ${\displaystyle k=13}$

${\displaystyle 10000=4676,33\cdot ((1+0,1)^{12}-1)}$

Что соответствует расчёту сложными процентами от погашения основного долга

Физический смысл данного расчёта состоит в том, что в день выдачи кредита кредит делится на 12 неравных подкредита на 1,2, …. 12 месяцев

Например, для ${\displaystyle k=13}$ в день выдачи кредита (соответствует 0 -му месяцу) выдается кредит 4676,33 на 12 месяцев с единственным погашением через 12 месяцев.

Расчёт для ${\displaystyle k=13}$ выглядит по меньшей мере странно: в соответствии с определением процентной ставки процент за год ${\displaystyle ={10000 \over 4676,33}=2,13843=213,843\%}$ .

В то же время, ${\displaystyle P_{godovaya}=120\%}$

Дело в том, что исторически произошла путаница двух понятий: годовая процентная ставка и 12-кратная среднемесячная процентная ставка. При расчёте простыми процентами данные понятия являются идентичными. Поскольку расчёт производится сложными процентами, следовательно, и ПСК в ст. 6 353-ФЗ^[4], и ${\displaystyle P_{godovaya}}$ в банковском расчёте (в данном случае, Сбербанка) в данном примере являются 12-кратными среднемесячными процентными ставками (${\displaystyle 12\cdot i}$ ).

Пусть среднемесячная процентная ставка ${\displaystyle i=10\%}$ , тогда двенадцатикратная среднемесячная процентная ставка ${\displaystyle 12\cdot i=120\%}$ , а годовая процентная ставка ${\displaystyle j=(1+i)^{12}-1=2,13843=213,843\%}$

До 1 сентября 2014 года формула расчёта ПСК в ст.6 353-ФЗ^[5] выглядела так:

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{d_{i}-d_{0} \over 365}}}=0}$

Здесь ПСК действительно вычисляется правильно, получается правильная годовая процентная ставка , ее можно рассчитать в Excel при помощи функции ЧИСТВНДОХ

Таким образом, если банк считает сложными процентами, тогда

${\displaystyle Pl=S\cdot {\frac {{\sqrt[{12}]{1+{\frac {P_{godovaya}}{100\%}}}}-1}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{100\%}})^{-{\frac {T}{12}}}}}=100000\cdot {\frac {{\sqrt[{12}]{1+{\frac {120\%}{100\%}}}}-1}{1-(1+{\frac {120\%}{100\%}})^{-{\frac {12}{12}}}}}\approx 12450.42}$

Если банк считает простыми процентами, тогда

Сначала производится расчёт ${\displaystyle [p]=[{\frac {{\sqrt[{}]{({\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}+2)^{2}+8\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}\cdot T}}-({\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}+2)}{2\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}}}]=[{\frac {{\sqrt[{}]{({\frac {120\%}{12\cdot 100\%}}+2)^{2}+8\cdot {\frac {120\%}{12\cdot 100\%}}\cdot 12}}-({\frac {120\%}{12\cdot 100\%}}+2)}{2\cdot {\frac {120\%}{12\cdot 100\%}}}}]=[{\frac {{\sqrt[{}]{2.1^{2}+8\cdot 1.2}}-2.1}{0.2}}]=[8.215]=8}$

Затем ${\displaystyle p={\frac {2\cdot T+[p]\cdot [p+1]\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}}{2\cdot [p+1]\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}+2}}={\frac {2\cdot 12+8\cdot 9\cdot 0,1}{2\cdot 9\cdot 0,1+2}}={\frac {156}{19}}}$

${\displaystyle Pl={\frac {S}{p}}={\frac {1900000}{156}}\approx 12179,49}$

Всё это более, чем странно, поскольку в ответе на вопрос ДБР к ЦБР от 18.08.2014^[6] указывается:

«При расчёте ПСК учитываются все платежи по кредитному договору (договору займа) (в том числе предусмотренные договором платежи в пользу третьих лиц) по принципу сложных процентов»

То есть, по мнению законодателя формула

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=0}$

рассчитана по принципу сложных процентов

Но по принципу сложных процентов рассчитана формула

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{G_{i}-G_{0}}}}=0}$

где ${\displaystyle G_{i}=y_{i}+{\Delta _{i} \over D_{i}}}$

${\displaystyle y_{i}}$  — год ${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle \Delta _{i}}$  — порядковый номер дня ${\displaystyle d_{i}}$ в году (1 января — 1, 31 декабря невисокосного года — 365)

здесь возникает неопределенность: 1 января на начало дня начисляются проценты за 31 декабря предыдущего года, поэтому 1 января может относиться как к текущему году, так и к предыдущему, поэтому по другой версии 1 января — 0, 31 декабря невисокосного года — 364

${\displaystyle D_{i}}$  — число дней в году ${\displaystyle d_{i}}$ (365 или 366)

При ${\displaystyle D_{i}=365}$ данная формула полностью совпадает с

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{d_{i}-d_{0} \over 365}}}=0}$

«Процентные доходы и процентные расходы по размещенным и привлеченным средствам начисляются в порядке и размере, предусмотренными соответствующим договором, на остаток задолженности по основному долгу, учитываемой на соответствующем лицевом счёте на начало операционного дня. При начислении процентных доходов и процентных расходов в расчёт принимаются величина процентной ставки (в процентах годовых) и фактическое количество календарных дней, на которое привлечены или размещены средства. При этом за базу берется действительное число календарных дней в году — 365 или 366 дней соответственно, если иное не предусмотрено соглашением сторон.»^[7]

Таким образом, банк может заключить соглашение сторон, при котором число календарных дней в году — 365, в месяце — 30, в году 12 месяцев.

Проценты считаются на остаток задолженности по основному долгу по той части кредита, по которой происходит текущая выплата, то есть на ${\displaystyle {\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}}$

Тогда формула расчёта процентов будет ${\displaystyle DP_{k}-{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=DP_{k}\cdot (1-{1 \over {(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}})}$ .

Здесь ${\displaystyle i}$  — среднемесячная процентная ставка, в долях единицы

${\displaystyle q_{k}}$  — число полных месяцев с выдачи кредита

${\displaystyle e_{k}}$  — отношение дней с момента завершения ${\displaystyle q_{k}}$ -го месяца до даты k-го денежного потока к 30

${\displaystyle 12i\cdot 100\%}$  — 12-кратная среднемесячная процентная ставка

${\displaystyle ((1+i)^{12}-1)\cdot 100\%}$  — годовая процентная ставка

Тогда ПСК при отсутствии комиссий и при подавляющем большинстве досрочных погашений всегда будет равна 12-кратной среднемесячной процентной ставке

Пример расчёта универсального аннуитета

Существует пример, который подходит и для банковского расчёта, и для ст. 6 353-ФЗ, и для 2008-У, и для математических расчётов, в котором нет никаких округлений.

Для наглядности рассмотрим пример банковского расчёта:

${\displaystyle Pl={\frac {S\cdot {\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}}}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{12\cdot 100\%}})^{-T}}}}$ ,^[3]

где

${\displaystyle Pl}$ - ежемесячный аннуитетный платеж

${\displaystyle S}$ - кредит

${\displaystyle P_{godovaya}}$ - годовая процентная ставка

${\displaystyle T}$ -количество месяцев кредита

Пусть погашение кредита происходит равными платежами ежегодно. Тогда:

${\displaystyle Pl={\frac {S\cdot {\frac {P_{godovaya}}{100\%}}}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{100\%}})^{-T}}}}$

${\displaystyle T}$ -количество лет кредита

Пример

Пусть ${\displaystyle S}$ =100000, ${\displaystyle P_{godovaya}}$ =120 %,${\displaystyle T}$ =2

Тогда${\displaystyle Pl={\frac {S\cdot {\frac {P_{godovaya}}{100\%}}}{1-(1+{\frac {P_{godovaya}}{100\%}})^{-T}}}={\frac {100000\cdot {\frac {120\%}{100\%}}}{1-(1+{\frac {120\%}{100\%}})^{-2}}}={\frac {100000\cdot {\frac {6}{5}}}{1-({\frac {11}{5}})^{-2}}}={\frac {120000}{1-{\frac {25}{121}}}}=120000\cdot {\frac {121}{96}}=151250}$

Посчитаем ПСК по формуле 2008-У (вместо PSK сразу подставляем 120 %/100%=1,2):

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {DP_{i}}{(1+PSK)^{d_{i}-d_{0} \over 365}}}={\frac {-100000}{(1+1,2)^{0}}}+{\frac {151250}{2,2^{1}}}+{\frac {151250}{2,2^{2}}}=-100000+68750+31250=0}$

Посчитаем ПСК по формуле ст. 6 353-ФЗ (Поскольку погашение происходит точно каждый год, поэтому в формуле ст. 6 все ${\displaystyle e_{k}=0}$ , ${\displaystyle q_{k}=k-1}$ , ${\displaystyle m=T+1}$ ,ЧБП=1, ${\displaystyle T}$ =2, ${\displaystyle DP_{k}=151250}$ при ${\displaystyle k=2...3}$ , ${\displaystyle DP_{1}=-100000}$ , ${\displaystyle i}$ =ПСК/ЧБП/100%=120 %/1/100%=1,2):

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}{\frac {DP_{k}}{(1+e_{k}i)(1+i)^{q_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {DP_{k}}{(1+i)^{q_{k}}}}={\frac {-100000}{(1+1,2)^{0}}}+{\frac {151250}{2,2^{1}}}+{\frac {151250}{2,2^{2}}}=-100000+68750+31250=0}$

поскольку в ответе на вопрос ДБР к ЦБР от 18.08.2014^[6] указывается:

«При расчёте ПСК учитываются все платежи по кредитному договору … по принципу СЛОЖНЫХ процентов, поэтому значение ПСК может отличаться от процентной ставки по кредитному договору …»,

Следовательно, банк в расчётах использует сложные проценты, хотя декларирует использование простых.

Будущая стоимость аннуитетных платежей

Будущая стоимость аннуитетных платежей предполагает, что платежи осуществляются на приносящий проценты вклад. Поэтому будущая стоимость аннуитетных платежей является функцией как величины аннуитетных платежей, так и ставки процента по вкладу.

Будущая стоимость серии аннуитетных платежей (FV) вычисляется по формуле (предполагается сложный процент)

${\displaystyle FV_{\mathrm {annuity} }=X\cdot {(1+r)^{n}-1 \over r}}$ ,

где r — процентная ставка за период, n — количество периодов, в которые осуществляются аннуитетные платежи, X — величина аннуитетного платежа.

Аннуитет пренумерандо в рассматриваемом случае начисления процентов по аннуитетным платежам, имеет на один период начисления процентов больше. Поэтому формула для вычисления будущей стоимости аннуитета пренумерандо приобретает следующий вид

${\displaystyle FV_{\mathrm {annuity} }=X\cdot {(1+r)^{n}-1 \over r}\cdot {(1+r)}}$

В табличных процессорах в состав финансовых функций входит функция для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей. В OpenOffice.org Calc для вычисления будущей стоимости аннуитетных платежей (как постнумерандо, так и пренумерандо) применяется функция FV.

Расчёт составляющих аннуитета

При простых процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются после полного погашения ОД

Проценты по кредиту = (Сумма ОД х Процентная ставка х Число дней между датами) / (100 х Число дней в году)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.^[8]

При сложных процентах

Аннуитетный платеж = Погашение ОД + Проценты

где Погашение ОД — сумма в погашение тела займа

Проценты — сумма процентов по ссуде за месяц, выплачиваются ежемесячно

Проценты по кредиту = Сумма ОД х ((1+Процентная ставка/100)^((Число дней между датами)/ (Число дней в году)) −1)

Где сумма ОД — сумма основного долга на дату расчёта.

Ставка — процентная ставка в текущем периоде. Если было изменение процентной ставки, берется новая ставка.

Число дней между датами — разность в днях между датами «Дата текущего платежа» и дата предыдущего платежа.^[9]

См. также

• Капитализация процентов
• Процентная ставка
• Дисконтированная стоимость

Ссылки

• Аннюитет // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Смирнова Е. Ю. Аннуитетные финансовые функции в таблицах Google Docs

Примечания