WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Александровская геометрия — своеобразное развитие аксиоматического подхода в современной геометрии. Идея состоит в замене определённого равенства в аксиоматике евклидова пространства на неравенство.

История

Первое синтетическое определение ограничений на кривизну снизу и сверху дал Абрахам Вальд в своей студенческой работе написанной под руководством Карла Менгерa.^[1] Эта работа была забыта вплоть до 80-ых годов.

Похожие определения были переоткрыты Александром Даниловичем Александровым.^[2] ^[3] Он же дал первые значительные приложения этой теории, в частности к задачам вложения и изгибания поверхностей.

Близкое определение метрических пространств неположительной кривизной было дано почти одновременно Буземаном.^[4]

Исследования Александрова и его учеников велись по двум основным направлениям:

Двумерные пространства с кривизной ограниченной снизу;
Пространства произвольной размерности с кривизной ограниченной сверху.
- Гиперболичность в смысле Громова является продолжением этой теории для дискретных пространств. Оно имеет значительные приложения в теории групп.

Пространства произвольной размерности с кривизной ограниченной снизу начали изучать только в конце 90-х годов. Толчком к этим исследованиям послужила Теорема Громова о компактности. Основополагающая работа была написана Юрием Дмитриевичем Бураго, Михаилом Леонидовичем Громовым и Григорием Яковлевичем Перельманом.^[5]

Основные определения

Треугольник сравнения для тройки точек $xyz$ метрического пространства $X$ это треугольник $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ на евклидовой плоскости $\mathbb {E} ^{2}$ с теми же длинами сторон; то есть

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|x-y|_{X},\\|{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|y-z|_{X},\\|{\tilde {z}}-{\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|z-x|_{X}.\end{aligned}}

Угол при вершине ${\tilde {x}}$ в треугольнике сравнения $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ называются углом сравнения тройки $xyz$ и обозначаются ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$ .

В геометрии Александрова рассматриваются полные метрические пространства $X$ с внутренней метрикой с одним из двух следующих неравенств на 6 расстояний между 4 произвольными точками.

Неположительная кривизна

Первое неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек $x,y,p,q\in X$ рассмотрим пару треугольников сравнения $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ и $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ тогда для произвольной точки ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ выполняется неравенство

|x-y|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm {CAT} [0]$ -неравенству. В случае локального выполнения этого неравенства, говорят, что пространство имеет неположительную кривизну в смысле Александрова.

Неотрицательная кривизна

Второе неравенство, состоит в следующем: для произвольных 4 точек $p,x,y,z\in X$ выполняется неравенство

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

В этом случае говорят, что пространство удовлетворяет $\mathrm {CBB} [0]$ -неравенству или говорят, что пространство имеет неотрицательную кривизну в смысле Александрова.

Общие ограничения на кривизну

Вместо Евклидовой плоскости можно взять пространство $\mathbb {M} [k]$ — модельную плоскость кривизны $k$ . То есть

$\mathbb {M} [0]$ есть евклидова плоскость,
$\mathbb {M} [k]$ при $k>0$ есть сфера радиуса $1/{\sqrt {k}}$ ,
$\mathbb {M} [k]$ при $k<0$ есть плоскость Лобачевского кривизны $k$ .

Тогда вышеприведённые определения превращаются в определения CAT[k] и CBB[k] пространств и пространств кривизной $\leq k$ и $\geq k$ в смысле Александрова В случае $k>0$ , треугольник сравнения тройки $(xyz)$ считается определённым если выполнено следующее неравенство

|x-y|_{X}+|y-z|_{X}+|z-x|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k}}

.

Основные теоремы

Лемма Александрова — важное техническое утверждение об углах сравнения

Теорема Решетняка о склеивании — позволяет конструировать CAT(k) пространства путем склеивания CAT(k) пространств по выпуклым множествам.

Теорема Решетняка о мажоризации — даёт удобное эквивалентное определение CAT(k) пространств.

Tеорема глобализации для CAT(k) пространств, является обобщением теоремы Адамара — Картана.

Tеорема глобализации для CBB(k) пространств, является обобщением теоремы сравнения Топоногова.

Примечания

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (нем.) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.
↑ Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.
↑ Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения (рус.) // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.
↑ Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259–310.
↑ Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами (рус.) // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.

Литература

Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
Лекция 5, Геометрия Александрова
Антон Петрунин, Александровская геометрия видео лекции
Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, "Invitation to Alexandrov geometry: CAT[0] spaces", arΧiv:1701.03483 [math.DG]

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (нем.) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. — 1935. — Bd. 6. — S. 24—46.

[2] Александров А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Гостехиздат, 1948.

[3] Александров А. Д. Одна теорема о треугольниках в метрическом пространстве и некоторые ее приложения (рус.) // Тр. МИАН СССР. — 1951. — Т. 38. — С. 5—23.

[4] Busemann, Herbert Spaces with non-positive curvature. Acta Math. 80, (1948). 259–310.

[5] Ю. Д. Бураго, М. Л. Громов, Г. Я. Перельман. Пространства А. Д. Александрова с ограниченными снизу кривизнами (рус.) // УМН. — 1992. — Т. 47, № 2(284). — С. 3—51.