WikiSort.ru - Не сортированное

t-критерий Стьюдента — общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на распределении Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

t-статистика строится обычно по следующему общему принципу: в числителе случайная величина с нулевым математическим ожиданием (при выполнении нулевой гипотезы), а в знаменателе — выборочное стандартное отклонение этой случайной величины, получаемое как квадратный корень из несмещённой оценки дисперсии.

История

Данный критерий был разработан Уильямом Госсетом для оценки качества пива в компании Гиннесс. В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Требования к данным

Для применения данного критерия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. В случае применения двухвыборочного критерия для независимых выборок также необходимо соблюдение условия равенства дисперсий. Существуют, однако, альтернативы критерию Стьюдента для ситуации с неравными дисперсиями.

Требование нормальности распределения данных является необходимым для точного ${\displaystyle t}$ -теста. Однако, даже при других распределениях данных возможно использование ${\displaystyle t}$ -статистики. Во многих случаях эта статистика асимптотически имеет стандартное нормальное распределение — ${\displaystyle N(0,1)}$ , поэтому можно использовать квантили этого распределения. Однако, часто даже в этом случае используют квантили не стандартного нормального распределения, а соответствующего распределения Стьюдента, как в точном ${\displaystyle t}$ -тесте. Асимптотически они эквивалентны, однако на малых выборках доверительные интервалы распределения Стьюдента шире и надежнее.

Одновыборочный t-критерий

Применяется для проверки нулевой гипотезы ${\displaystyle H_{0}:E(X)=m}$ о равенстве математического ожидания ${\displaystyle E(X)}$ некоторому известному значению ${\displaystyle m}$ .

Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы ${\displaystyle E({\overline {X}})=m}$ . С учётом предполагаемой независимости наблюдений ${\displaystyle V({\overline {X}})=\sigma ^{2}/n}$ . Используя несмещенную оценку дисперсии ${\displaystyle s_{X}^{2}=\sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}/(n-1)}$ получаем следующую t-статистику:

При нулевой гипотезе распределение этой статистики ${\displaystyle t(n-1)}$ . Следовательно, при превышении значения статистики по абсолютной величине критического значения данного распределения (при заданном уровне значимости) нулевая гипотеза отвергается.

Двухвыборочный t-критерий для независимых выборок

Пусть имеются две независимые выборки объемами ${\displaystyle n_{1}~,~n_{2}}$ нормально распределенных случайных величин ${\displaystyle X_{1},~X_{2}}$ . Необходимо проверить по выборочным данным нулевую гипотезу равенства математических ожиданий этих случайных величин ${\displaystyle H_{0}:~M_{1}=M_{2}}$ .

Рассмотрим разность выборочных средних ${\displaystyle \Delta ={\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}$ . Очевидно, если нулевая гипотеза выполнена ${\displaystyle E(\Delta )=M_{1}-M_{2}=0}$ . Дисперсия этой разности равна исходя из независимости выборок: ${\displaystyle V(\Delta )={\frac {\sigma _{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {\sigma _{2}^{2}}{n_{2}}}}$ . Тогда используя несмещенную оценку дисперсии ${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{t=1}^{n}(X_{t}-{\overline {X}})^{2}}{n-1}}}$ получаем несмещенную оценку дисперсии разности выборочных средних: ${\displaystyle s_{\Delta }^{2}={\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}$ . Следовательно, t-статистика для проверки нулевой гипотезы равна

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{\sqrt {{\frac {s_{1}^{2}}{n_{1}}}+{\frac {s_{2}^{2}}{n_{2}}}}}}}$

Эта статистика при справедливости нулевой гипотезы имеет распределение ${\displaystyle t(df)}$ , где ${\displaystyle df={\frac {(s_{1}^{2}/n_{1}+s_{2}^{2}/n_{2})^{2}}{(s_{1}^{2}/n_{1})^{2}/(n_{1}-1)+(s_{2}^{2}/n_{2})^{2}/(n_{2}-1)}}}$

Случай одинаковой дисперсии

В случае, если дисперсии выборок предполагаются одинаковыми, то

${\displaystyle V(\Delta )=\sigma ^{2}\left({\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}\right)}$

Тогда t-статистика равна:

${\displaystyle t={\frac {{\overline {X}}_{1}-{\overline {X}}_{2}}{s_{X}{\sqrt {{\frac {1}{n_{1}}}+{\frac {1}{n_{2}}}}}}}~,~~s_{X}={\sqrt {\frac {(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s_{2}^{2}}{n_{1}+n_{2}-2}}}}$

Эта статистика имеет распределение ${\displaystyle t(n_{1}+n_{2}-2)}$

Двухвыборочный t-критерий для зависимых выборок

Для вычисления эмпирического значения ${\displaystyle t}$ -критерия в ситуации проверки гипотезы о различиях между двумя зависимыми выборками (например, двумя пробами одного и того же теста с временным интервалом) применяется следующая формула:

${\displaystyle t={\frac {M_{d}}{s_{d}/{\sqrt {n}}}}}$

где ${\displaystyle M_{d}}$  — средняя разность значений, ${\displaystyle s_{d}}$  — стандартное отклонение разностей, а n — количество наблюдений

Эта статистика имеет распределение ${\displaystyle t(n-1)}$ .

Проверка линейного ограничения на параметры линейной регрессии

С помощью t-теста можно также проверить произвольное (одно) линейное ограничение на параметры линейной регрессии, оцененной обычным методом наименьших квадратов. Пусть необходимо проверить гипотезу ${\displaystyle H_{0}:c^{T}b=a}$ . Очевидно, при выполнении нулевой гипотезы ${\displaystyle E(c^{T}{\hat {b}}-a)=c^{T}E({\hat {b}})-a=0}$ . Здесь использовано свойство несмещенности МНК-оценок параметров модели ${\displaystyle E({\hat {b}})=b}$ . Кроме того, ${\displaystyle V(c^{T}{\hat {b}}-a)=c^{T}V({\hat {b}})c=\sigma ^{2}c^{T}(X^{T}X)^{-1}c}$ . Используя вместо неизвестной дисперсии её несмещенную оценку ${\displaystyle s^{2}=ESS/(n-k)}$ получаем следующую t-статистику:

${\displaystyle t={\frac {c^{T}{\hat {b}}-a}{s{\sqrt {c^{T}(X^{T}X)^{-1}c}}}}}$

Эта статистика при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение ${\displaystyle t(n-k)}$ , поэтому если значение статистики выше критического, то нулевая гипотеза о линейном ограничении отклоняется.

Проверка гипотез о коэффициенте линейной регрессии

Частным случаем линейного ограничения является проверка гипотезы о равенстве коэффициента ${\displaystyle b_{j}}$ регрессии некоторому значению ${\displaystyle a}$ . В этом случае соответствующая t-статистика равна:

${\displaystyle t={\frac {{\hat {b}}_{j}-a}{s_{{\hat {b}}_{j}}}}}$

где ${\displaystyle s_{{\hat {b}}_{j}}}$  — стандартная ошибка оценки коэффициента — квадратный корень из соответствующего диагонального элемента ковариационной матрицы оценок коэффициентов.

При справедливости нулевой гипотезы распределение этой статистики — ${\displaystyle t(n-k)}$ . Если значение статистики по абсолютной величине выше критического значения, то отличие коэффициента от ${\displaystyle a}$ является статистически значимым (неслучайным), в противном случае — незначимым (случайным, то есть истинный коэффициент вероятно равен или очень близок к предполагаемому значению ${\displaystyle a}$ )

Непараметрические аналоги

Аналогом двухвыборочного критерия для независимых выборок является U-критерий Манна — Уитни. Для ситуации с зависимыми выборками аналогами являются критерий знаков и T-критерий Вилкоксона

Литература

Student. The probable error of a mean. // Biometrika. 1908. № 6 (1). P. 1-25.

Ссылки

О критериях проверки гипотез об однородности средних на сайте Новосибирского государственного технического университета