WikiSort.ru - Не сортированное

Языки Арнольда — в теории динамических систем, области рациональности числа вращения в двупараметрическом семействе гомеоморфизмов окружности, начинающемся (при нулевом значении одного из параметров) с чистых поворотов.

Постановка задачи

Рассмотрим семейство гомеоморфизмов окружности

${\displaystyle f_{\alpha ,\varepsilon }(x)=x+\alpha +\varepsilon \sin(2\pi x),\quad x,\alpha \in S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z} ,\,\varepsilon \in [0,1/10].}$

Для этого семейства, можно рассмотреть функцию ${\displaystyle \rho (\alpha ,\varepsilon )}$ , сопоставляющую параметрам ${\displaystyle (\alpha ,\varepsilon )}$ число вращения соответствующего гомеоморфизма. Множества точек, в которых она принимает рациональные значения,

${\displaystyle E_{p/q}:=\{(\alpha ,\varepsilon )\mid \rho (\alpha ,\varepsilon )=p/q\},}$

и называются языками Арнольда.

Описание поведения

При ${\displaystyle \varepsilon =0}$ отображение ${\displaystyle f_{\alpha }}$ является поворотом на угол ${\displaystyle \alpha }$ . Соответственно, ${\displaystyle \rho (\alpha ,0)=\alpha }$ , и рациональное значение ${\displaystyle p/q}$ принимается только в соответствующей точке ${\displaystyle \alpha =p/q}$

Напротив, при сколь угодно малом ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ для каждого ${\displaystyle p/q}$ пересечение ${\displaystyle E_{p/q}}$ с горизонтальным отрезком ${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}}$ оказывается отрезком. Это связано с тем, что, как утверждает теорема Пуанкаре, число вращения рационально со знаменателем q тогда и только тогда, когда у отображения ${\displaystyle f^{q}}$ имеется неподвижная точка. Соответственно, поскольку семейство ${\displaystyle f_{\alpha ,\varepsilon }}$ при любом фиксированном ${\displaystyle \varepsilon }$ монотонно по ${\displaystyle \alpha }$ , при увеличении ${\displaystyle \alpha }$ наблюдается последовательность бифуркаций:

• Сначала (на левом краю ${\displaystyle E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\}}$ ) у ${\displaystyle f_{\alpha ,\varepsilon _{0}}}$ появляется полуустойчивая периодическая орбита периода ${\displaystyle q}$ точка (или одновременно появляются несколько таких орбит); все точки, не принадлежащие к таким орбитам, стремятся к ним, дрейфуя «по часовой стрелке» (в направлении убывания ${\displaystyle x}$ ).
• Эти орбиты немедленно распадаются на устойчивые и неустойчивые; устойчивые с ростом параметра ${\displaystyle \alpha }$ дрейфуют против, а неустойчивые по часовой стрелке.
• В течение определённого отрезка параметров ${\displaystyle \alpha }$ периодические точки дрейфуют, возможно, происходит рождение новых или уничтожение старых орбит.
• Наконец, в некоторый момент оказывается, что все имевшиеся орбиты слились в одну или несколько полуустойчивых орбит, дрейф в дополнении к которым идёт против часовой стрелки — в положительном направлении. Это и есть правая граница ${\displaystyle E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\}}$  — при сколь угодно малом дальнейшем увеличении ${\displaystyle \alpha }$ периодические точки периода ${\displaystyle q}$ исчезают (а число вращения, тем самым, строго увеличивается).

Единственное возможное поведение аналитического диффеоморфизма, при котором вышеописанный сценарий не имеет места — это диффеоморфизм конечного порядка: если для некоторого ${\displaystyle \alpha }$ отображение ${\displaystyle f_{\alpha ,\varepsilon _{0}}^{q}}$ тождественно, то соответствующее ${\displaystyle E_{p,q}\cap \{\varepsilon =\varepsilon _{0}\}}$ состоит из одной точки ${\displaystyle (\alpha ,\varepsilon _{0})}$ . Однако, соображения комплексного анализа легко показывают, что для рассматриваемого выше семейства это не происходит.

Подытоживая всё вышесказанное, видим, что множество ${\displaystyle E_{p/q}}$  — это своеобразный «язык», «растущий» из точки ${\displaystyle (p/q,0)}$ и ограниченный двумя непрерывными кривыми.

Также, используя теорему Данжуа и соображения монотонности, несложно увидеть, что для любого иррационального ${\displaystyle \varphi }$ множество ${\displaystyle E_{\varphi }=\{\rho (\alpha ,\varepsilon )=\varphi \}}$  — это непрерывная кривая, начинающаяся из точки ${\displaystyle (\varphi ,0)}$ .

Стоит отметить, что при любом фиксированном ${\displaystyle \varepsilon >0}$ число вращения как функция параметра ${\displaystyle \alpha }$ является канторовой лестницей. Однако, в отличие от обычной конструкции канторовой лестницы, канторово множество её точек роста (замыкание множества параметров ${\displaystyle \alpha }$ , соответствующих иррациональным числам вращения) оказывается имеющим положительную меру Лебега.

Ссылки

• Каток А. Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем = Introduction to the Modern Theory of Dynamical Systems / пер. с англ. А. Кононенко при участии С. Ферлегера. — М.: Факториал, 1999. — 768 с. — ISBN 5-88688-042-9.