WikiSort.ru - Не сортированное

Четырёхугольник Саккери — четырёхугольник с двумя равными сторонами, которые перпендикулярны основанию. Он назван в честь Саккери, который использовал его в своей книге Euclides ab omni naevo vindicatus, впервые опубликованой в 1733, при попытке доказать пятый постулат, используя метод от противного. В конце 11 века четырёхугольник Саккери был рассмотрен Омар Хайямом.^[1]

В четырёхугольнике Саккери ABCD стороны AD и BC равны по длине и перпендикулярны к основанию АВ. Углы при С и D называются верхними углами.

Преимущество использования четырёхугольников Саккери заключается в том, что имеют место 3 взаимоисключающих варианта, которые можно сформулировать одним вопросом:

Являются ли верхние углы прямыми, тупыми или острыми?

Оказывается, когда верхние углы прямые, на плоскости выполняется пятый постулат. Когда они острые, плоскость гиперболическая, и, когда они тупые, плоскость эллиптическая (при условии внесения некоторых дополнительных изменений в постулаты^[2]).

Саккери надеялся, что случаи тупых и острых углов приводят к противоречию. Он показывал это в случае тупого угла, но не сумел как следует разобраться со случаем острого угла.^[3]

История

Четырёхугольник Саккери был впервые рассмотрен Омар Хайямом (1048—1131) в конце 11 века.^[1] В отличие от многих до и после него, Хайям не пытался доказать пятый постулат как таковой, он хотел вывести эквивалентный постулат из "принципов философа" (Аристотель):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые линии расходились в направлении, в котором они сходятся.^[4]

Хайям рассмотрел все три возможности для верхних углов четырёхугольника Саккери и доказал ряд теорем. Он (правильно) опроверг тупые и острые случаи на основании его постулата и вывел отсюда классический постулат Евклида.

600 лет спустя Джордано Витале^[en] использовал четырёхугольник Саккери в доказательстве того, что если три точки находятся на равном расстоянии от основания АВ и верхней стороны CD, то AB и CD всюду лежат на одинаковом расстоянии.

Сам Саккери в своём длинном и неверном доказательстве постулата доказал много теорем о четырёхугольнике и его трех случаях.

Свойства

Пусть ABCD - четырёхугольник Саккери с основанием АВ. Следующие свойства верны в любой гиперболической геометрии.^[5]

• Верхние углы (С и D) равны. Также они являются острыми.
•  Верхняя сторона длиннее основания.
• Отрезок, соединяющий середину основания и середину верхней стороны, взаимно перпендикулярен основанию и верхней стороне.
  • Этот отрезок делит четырёхугольник на два четырёхугольника Ламберта.
• Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Формула

В гиперболической плоскости постоянной кривизны ${\displaystyle -1}$ , верхняя сторона ${\displaystyle s}$ в четырехугольнике Саккери может быть вычислена по боковой стороне ${\displaystyle l}$ и основания ${\displaystyle b}$ с помощью формулы

${\displaystyle \cosh s=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l.}$ ^[6]

Примеры

Гиперболическая плоскость допускает замощения некоторыми четырёхугольниками Саккери:

Симметрия *3322

Симметрия *∞∞22

См. также

• Четырёхугольник Ламберта

Примечания

Литература

• Coxeter, H.S.M. (1998), Non-Euclidean Geometry (6th ed.), Washington, D.C.: Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-522-4 
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1 
• M. J. Greenberg, Euclidean and Non-Euclidean Geometries: Development and History, 4th edition, W. H. Freeman, 2008.
• George E. Martin, The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane, Springer-Verlag, 1975