WikiSort.ru - Не сортированное

В теории категорий множества Hom (то есть множества морфизмов между двумя объектами) позволяют определить важные функторы в категорию множеств. Эти функторы называются функторами Hom и имеют многочисленные приложения в теории категорий и других областях математики.

Определение

Пусть C — локально малая категория. Тогда для любых её объектов A, B определены следующие два функтора:

Функтор Hom(-,B) также называют функтором точек объекта B.

Также можно определить бифунктор Hom(-,-) из C × C в Set, контравариантный по первому аргументу и ковариантный по второму. Или, эквивалентно, функтор

Hom(-,-) : C^op × C → Set

где C^op — двойственная категория к C.

Внутренний функтор Hom

В некоторых категориях можно определить функтор, который сходен с функтором Hom, но значения которого лежат в самой категории. Такой функтор называют внутренним функтором Hom и обозначают

${\displaystyle {\text{hom}}(-,-):C^{op}\times C\to C}$

Категории, допускающие внутренний Hom-функтор, называются замкнутыми категориями. Забывающий функтор ${\displaystyle U:C\to {\textbf {Set}}}$ в таких категориях переводит внутренний функтор Hom во внешний. Точнее,

${\displaystyle U\circ {\text{hom}}(-,-)\simeq {\text{Hom}}(-,-)}$

где ${\displaystyle \simeq }$ обозначает естественный изоморфизм, естественный по обоим «аргументам». Поскольку в замкнутой категории ${\displaystyle A\cong hom(I,A)}$ (здесь I — единица замкнутой категории), это можно переписать как

${\displaystyle {\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)}$

В случае замкнутой моноидальной категории это можно расширить до так называемого каррирования, то есть изоморфизма

${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)}$

где ${\displaystyle Y\Rightarrow Z}$  — это ${\displaystyle {\text{hom}}(Y,Z)}$ .

Связанные определения

• Функтор вида Hom(-, C) : C^op → Set является предпучком; соответственно, Hom(C, -) можно называть копредпучком.
• Функтор F : C → Set, естественно изоморфный Hom(X, -) для некоторого объекта C называется представимым функтором.
• Hom(-, -) : C^op × C → Set является профунктором, а именно, тождественным профунктором ${\displaystyle {\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C}$ .
• Внутренний функтор Hom сохраняет пределы; а именно, ${\displaystyle {\text{hom}}(X,-):C\to C}$ переводит пределы в пределы, а ${\displaystyle {\text{hom}}(-,X):C^{\text{op}}\to C}$  — пределы в копределы. В некотором смысле, это можно считать определением предела или копредела.
• Функтор Hom — пример точного слева функтора.

См. также

• Лемма Йонеды
• Категория функторов

Примечания

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Голдблатт, Р. Топосы. Категорный анализ логики, — М.: Мир, 1983. — 487 с.
• Jacobson, Nathan. Basic algebra. — 2nd. — Dover, 2009. — Vol. 2. — ISBN 978-0-486-47187-7.