WikiSort.ru - Не сортированное

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения ${\displaystyle u}$ .

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ . Также она верна для липшицевых и соболевских функций^[1].

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \Omega }$ есть область в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\displaystyle u\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{k}}$ — Липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\wedge ^{k}d_{x}u|\cdot dx=\int \limits _{\mathbb {R} ^{k}}dt\cdot \left(\int \limits _{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-k}\right),}$

где ${\displaystyle \wedge ^{k}d_{x}u}$ обозначает внешнее произведение ${\displaystyle k}$ копий дифференциала ${\displaystyle d_{x}u}$ , а ${\displaystyle H_{n-k}}$  — ${\displaystyle (n-k)}$ -мерная хаусдорфова мера.

Частные случаи

Для вещественнозначной функции ${\displaystyle u}$ , формула коплощади имеет вид

${\displaystyle \int \limits _{\Omega }g(x)\cdot |\nabla u(x)|\cdot dx=\int \limits _{-\infty }^{\infty }dt\cdot \left(\int \limits _{u^{-1}(t)}g(x)\cdot dH_{n-1}\right),}$

где ${\displaystyle \nabla u}$  — градиент ${\displaystyle u}$ .

Литература