WikiSort.ru - Не сортированное

Связность графа

Граф вершинно k-связнен, если удаление лишь (k − 1) вершин оставляет подграф связным, и рёберно k-связен, если удаление любых (k − 1) рёбер оставляет связный подграф.

Следующий результат принадлежит Хаслеру Уитни ^[1]:

Граф ${\displaystyle G=(V,E)}$ с ${\displaystyle |E|\geq 2}$ вершинно 2-связен тогда и только тогда, когда для него существует открытая ушная декомпозиция.

Следующий результат принадлежит Герберту Робинсону^[2]:

Граф рёберно 2-связен тогда и только тогда, когда для него существует ушная декомпозиция.

В обоих случаях число ушей необходимо равно контурному рангу графа. Роббинс применил ушную декомпозицию рёберно 2-связных графов в качестве средства доказательства теоремы Роббинса, что это в точности графы, которым может быть задана сильно связная ориентация. Поскольку Уитни и Робинсон первыми исследовали ушную декомпозицию, она иногда называется синтезом Уитни – Робинсона^[3].

Неразделяющая ушная декомпозиция — это открытая ушная декомпозиция, такая, что для каждой вершины v, за исключением одной, v имеет соседнюю вершину, которая появляется в декомпозиции позже вершины v. Этот тип декомпозиции можно использовать для обобщения результата Уитни:

Граф ${\displaystyle G=(V,E)}$ с ${\displaystyle |V|\geq 2}$ является вершинно 3-связным тогда и только тогда, когда G имеет неразделяющую ушную декомпозицию.

Если такая декомпозиция существует, она может быть выбрана относительно ребра uv графа G таким образом, что u принадлежит первому уху, v является новой вершиной в последнем ухе с более чем одним ребром и uv является ухом, состоящим из одного ребра. Этот результат впервые высказали явно Черьян и Махешвари^[4], но, как пишет Шмидт^[5], он эквивалентен результату тезисов Ph.D. диссертации 1971 года Ли Мондшейна. Структуры, тесно связанные с неразделяющими ушными декомпозициями максимальных планарными графами, называемые каноническими упорядочениями, являются также стандартным средством визуализации графов.

Сильная связность ориентированных графов

Определения, приведённые выше, могут быть перенесены также на ориентированные графы. Ухом тогда будет ориентированный путь, в котором все внутренние вершины имеют полустепень захода и полустепень исхода, равные 1. Ориентированный граф является сильно связным, если он содержит ориентированный путь из любой вершины в любую другую вершину. Тогда имеет место следующая теорема:

Ориентированный граф является сильно связным тогда и только тогда, когда он имеет ушную декомпозицию.

Аналогично, ориентированный граф является двусвязным, если для любых двух вершин существует простой цикл, содержащий обе вершины. Тогда

Ориентированный граф является двусвязным тогда и только тогда, когда у него есть открытая ушная декомпозиция.

Фактор-критические графы

Ушная декомпозиции нечётна, если каждое ухо имеет нечётное число рёбер. Фактор-критический граф, это граф с нечётным числом вершин, такой, что при удалении любой вершины v из графа оставшиеся вершины имеют совершенное паросочетание. Ласло Ловас^[6] обнаружил, что:

Граф G является фактор-критическим графом тогда и только тогда, когда G имеет нечётную ушную декомпозицию.

В более общем смысле, результат Франка^[7] делает возможным найти для любого графа G ушную декомпозицию с наименьшим количеством чётных ушей.

Параллельно-последовательные графы

Древесная ушная декомпозиция — это правильная ушная декомпозиция, в которой первое ухо является отдельным ребром и для каждого последующего уха ${\displaystyle P_{i}}$ существует единственное ухо ${\displaystyle P_{j}}$ , ${\displaystyle i>j}$ , в котором обе конечные точки ${\displaystyle P_{i}}$ лежат на ${\displaystyle P_{j}}$ ^[8]. Вложенная ушная декомпозиция — это древесная ушная декомпозиция, такая, что внутри каждого уха ${\displaystyle P_{j}}$ множество пар конечных точек других ушей ${\displaystyle P_{i}}$ , лежащих внутри ${\displaystyle P_{j}}$ , образует множество вложенных интервалов. Параллельно-последовательный граф — это граф с двумя выделенными различными концами s и t, который может быть образован рекурсивно путём комбинирования меньших параллельно-последовательных графов одним из двух способов — последовательное соединение (отождествляем один конец одного из графов с одним концом другого графа, а другие два конца обоих графов становятся концами объединения) и параллельное соединение (отождествляем обе пары терминалов обоих меньших графов).

Следующий результат принадлежит Дэвиду Эпштейну^[9]:

Вершинно 2-связный граф является параллельно-последовательным графом тогда и только тогда, когда он имеет вложенную ушную декомпозицию.

Более того, любая открытая ушная декомпозиция вершинно 2-связного параллельно-последовательного графа должна быть вложенной. Результат можно обобщить на параллельно-последовательные графы, не являющиеся вершинно 2-связными с помощью открытой ушной декомпозиции, которая стартует с пути между двумя концами.