WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа, устанавливающая критерий ограниченности линейного оператора между банаховыми пространствами.

Формулировки

• Линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график ${\displaystyle \Gamma _{T}:=\{(x,y)\in X\times Y|y=Tx\}}$ замкнут в пространстве ${\displaystyle X\times Y}$ .
• Линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset X}$ , такой что ${\displaystyle x_{n}\to x}$ и ${\displaystyle Tx_{n}\to y}$ , выполняется ${\displaystyle y=Tx}$ .

Замечания

• Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством, а Y — пространством Фреше.

Следствия

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица.

Ссылки

• Доказательство теоремы о замкнутом графике (англ.)

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное. Дополнить статью (статья слишком короткая либо содержит лишь словарное определение).