WikiSort.ru - Не сортированное

В евклидовой геометрии теорема Массельмана — это свойство некоторых окружностей, определённых для произвольного треугольника.

Формулировка теоремы

Пусть дан треугольник ${\displaystyle T}$ с вершинами ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$ . Пусть ${\displaystyle A^{*}}$ , ${\displaystyle B^{*}}$ и ${\displaystyle C^{*}}$  — вершины треугольника отражений ${\displaystyle T^{*}}$ , получаемого зеркальным отражением каждой вершины ${\displaystyle T}$ относительно противоположной стороны^[1]. Пусть ${\displaystyle O}$  — центр описанной окружности ${\displaystyle T}$ . Рассмотрим 3 окружности ${\displaystyle S_{A}}$ , ${\displaystyle S_{B}}$ и ${\displaystyle S_{C}}$ , проходящие через точки ${\displaystyle A\,O\,A^{*}}$ , ${\displaystyle B\,O\,B^{*}}$ и ${\displaystyle C\,O\,C^{*}}$ соответственно. Теорема утверждает, что эти три окружности Массельмана пересекаются в точке ${\displaystyle M}$ , которая является инверсией относительно описанной вокруг ${\displaystyle T}$ окружности точки Коснита^[en], которая является изогональным сопряжением центра девяти точек треугольника ${\displaystyle T}$ ^[2].

Общая точка ${\displaystyle M}$ является точкой Гилберта треугольника ${\displaystyle T}$ , которая перечислена как ${\displaystyle X_{1157}}$ в Энциклопедии центров треугольника^[2][3].

История

Теорема предложена как задача Массельманом (J. R. Musselman) и Горматигом (René Goormaghtigh) в 1939 году^[4], и доказательство представлено ими в 1941 году^[5]. Обобщение этого результата сформулировано и доказано Горматигом^[6].

Обобщение Горматига

Обобщение теоремы Массельмана Горматигом не упоминает окружности явно.

Как и прежде, пусть ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle C}$  — вершины треугольника ${\displaystyle T}$ , и ${\displaystyle O}$  — центр описанной окружности. Пусть ${\displaystyle H}$  — ортоцентр треугольника ${\displaystyle T}$ , то есть пересечение трёх высот. Пусть ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$  — три точки на отрезках ${\displaystyle OA}$ , ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$ , такие что ${\displaystyle OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=t}$ . Рассмотрим 3 прямые ${\displaystyle L_{A}}$ , ${\displaystyle L_{B}}$ и ${\displaystyle L_{C}}$ , перпендикулярные ${\displaystyle OA}$ , ${\displaystyle OB}$ и ${\displaystyle OC}$ через точки ${\displaystyle A'}$ , ${\displaystyle B'}$ и ${\displaystyle C'}$ соответственно. Пусть ${\displaystyle P_{A}}$ , ${\displaystyle P_{B}}$ и ${\displaystyle P_{C}}$  — точки пересечения перпендикуляров с прямыми ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle CA}$ и ${\displaystyle AB}$ соответственно.

Нойберг (J. Neuberg) в 1884 году заметил, что три точки ${\displaystyle P_{A}}$ , ${\displaystyle P_{B}}$ и ${\displaystyle P_{C}}$ лежат на одной прямой ${\displaystyle R}$ ^[7]. Пусть ${\displaystyle N}$  — проекция центра описанной окружности ${\displaystyle O}$ на прямую ${\displaystyle R}$ , а ${\displaystyle N'}$  — точка на ${\displaystyle ON}$ , такая что ${\displaystyle ON'/ON=t}$ . Горматиг доказал, что ${\displaystyle N'}$ является инверсией относительно описанной вокруг треугольника ${\displaystyle T}$ окружности изогонального сопряжения точки ${\displaystyle Q}$ на прямой Эйлера ${\displaystyle OH}$ , такой что ${\displaystyle QH/QO=2t}$ ^[8][9].

Примечания

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.