WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Теорема Линника — утверждение теории чисел, являющееся усилением теоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Теорема даёт верхнюю оценку на значение чисел, существование которых доказывает теорема Дирихле.

Теорема доказана Юрием Линником в 1944 году.

Для доказательства был использован математический аппарат характеров и функций Дирихле, типичный для задач, связанных с простыми числами в бесконечных арифметических прогрессиях.^[1]^[2]

Формулировка

Для взаимопростых чисел $a,d(a<d)$ обозначим через $p(a,d)$ минимальное число в прогрессии вида $a+nd,n=0,1,2,\dots$ , являющееся простым.

Существуют такие абсолютные константы $c,L$ , что для любых взаимопростых $a,d(a<d)$ выполняется $p(a,d)<cd^{L}$

Другие свойства и гипотезы

Из обобщённой гипотезы Римана следовало бы, что

p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}{(\ln d)}^{2}

,

где $\varphi$ — функция Эйлера.

Существует также гипотеза, что $p(a,d)<d^{2}$

Улучшение оценок на показатель L

Показатель $L$ в оценке $p(a,d)<cd^{L}$ иногда называют константой Линника. Хотя ещё первая работа Линника показывала, что эта константа эффективно вычислима^[en], однако в работе не делались попытки вычислить точное её значение. Впоследствии константа Линника многократно улучшалась. Ниже приведена история этих улучшений.

L ≤	Год публикации	Автор
10000	1957	Пан Ченгдонг^[en]^[3]
5448	1958	Пан Ченгдонг
777	1965	Chen Jingrun^[4]
630	1971	Matti Jutila
550	1970	Matti Jutila^[5]
168	1977	Chen Jingrun^[6]
80	1977	Matti Jutila^[7]
36	1977	Сидней Грэхем^[en]^[8]
20	1981	Сидней Грэхем^[9]
17	1979	Chen Jingrun^[10]
16	1986	Вонг
13.5	1989	Chen Jingrun и Liu^[11]^[12]
8	1990	Вонг^[13]
5,5	1992	Хиз-Браун^[en]^[14]
5,18	2009	Xylouris^[15]
5	2011	Xylouris^[16]

См. также

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Примечания

↑ Linnik, Yu. V. (1944). “On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem”. Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57): 139—178. MR 0012111.
↑ Linnik, Yu. V. (1944). “On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon”. Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57): 347—368. MR 0012112.
↑ Pan, Cheng Dong (1957). “On the least prime in an arithmetical progression”. Sci. Record (N.S.). 1: 311—313. MR 0105398.
↑ Chen, Jingrun (1965). “On the least prime in an arithmetical progression”. Sci. Sinica. 14: 1868—1871.
↑ Jutila, Matti (1970). “A new estimate for Linnik's constant”. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471. MR 0271056.
↑ Chen, Jingrun (1977). “On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions”. Sci. Sinica. 20 (5): 529—562. MR 0476668.
↑ Jutila, Matti (1977). “On Linnik's constant”. Math. Scand. 41 (1): 45—62. MR 0476671.
↑ Graham, Sidney West (1977). Applications of sieve methods (Ph.D.). Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan. MR 2627480.
↑ Graham, S. W. (1981). “On Linnik's constant”. Acta Arith. 39 (2): 163—179. MR 0639625.
↑ Chen, Jingrun (1979). “On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II”. Sci. Sinica. 22 (8): 859—889. MR 0549597.
↑ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). “On the least prime in an arithmetical progression. III”. Sci. China Ser. A. 32 (6): 654—673. MR 1056044.
↑ Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). “On the least prime in an arithmetical progression. IV”. Sci. China Ser. A. 32 (7): 792—807. MR 1058000.
↑ Wang, Wei (1991). “On the least prime in an arithmetical progression”. Acta Mathematica Sinica, New Series. 7 (3): 279—288. MR 1141242.
↑ Heath-Brown, Roger (1992). “Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression”. Proc. London Math. Soc. 64 (3): 265—338. DOI:10.1112/plms/s3-64.2.265. MR 1143227.
↑ Xylouris, Triantafyllos (2011). “On Linnik's constant”. Acta Arith. 150 (1): 65—91. DOI:10.4064/aa150-1-4. MR 2825574.
↑ Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [The zeros of Dirichlet L-functions and the least prime in an arithmetic progression] (Dissertation for the degree of Doctor of Mathematics and Natural Sciences) [нем.]. Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. MR 3086819.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Linnik, Yu. V. (1944). “On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem”. Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57): 139—178. MR 0012111.

[2] Linnik, Yu. V. (1944). “On the least prime in an arithmetic progression II. The Deuring-Heilbronn phenomenon”. Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. 15 (57): 347—368. MR 0012112.

[3] Pan, Cheng Dong (1957). “On the least prime in an arithmetical progression”. Sci. Record (N.S.). 1: 311—313. MR 0105398.

[4] Chen, Jingrun (1965). “On the least prime in an arithmetical progression”. Sci. Sinica. 14: 1868—1871.

[5] Jutila, Matti (1970). “A new estimate for Linnik's constant”. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I No. 471. MR 0271056.

[6] Chen, Jingrun (1977). “On the least prime in an arithmetical progression and two theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions”. Sci. Sinica. 20 (5): 529—562. MR 0476668.

[7] Jutila, Matti (1977). “On Linnik's constant”. Math. Scand. 41 (1): 45—62. MR 0476671.

[8] Graham, Sidney West (1977). Applications of sieve methods (Ph.D.). Ann Arbor, Mich: Univ. Michigan. MR 2627480.

[9] Graham, S. W. (1981). “On Linnik's constant”. Acta Arith. 39 (2): 163—179. MR 0639625.

[10] Chen, Jingrun (1979). “On the least prime in an arithmetical progression and theorems concerning the zeros of Dirichlet's $L$-functions. II”. Sci. Sinica. 22 (8): 859—889. MR 0549597.

[11] Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). “On the least prime in an arithmetical progression. III”. Sci. China Ser. A. 32 (6): 654—673. MR 1056044.

[12] Chen, Jingrun; Liu, Jian Min (1989). “On the least prime in an arithmetical progression. IV”. Sci. China Ser. A. 32 (7): 792—807. MR 1058000.

[13] Wang, Wei (1991). “On the least prime in an arithmetical progression”. Acta Mathematica Sinica, New Series. 7 (3): 279—288. MR 1141242.

[heath-brown-14] Heath-Brown, Roger (1992). “Zero-free regions for Dirichlet L-functions, and the least prime in an arithmetic progression”. Proc. London Math. Soc. 64 (3): 265—338. DOI:10.1112/plms/s3-64.2.265. MR 1143227.

[15] Xylouris, Triantafyllos (2011). “On Linnik's constant”. Acta Arith. 150 (1): 65—91. DOI:10.4064/aa150-1-4. MR 2825574.

[16] Xylouris, Triantafyllos (2011). Über die Nullstellen der Dirichletschen L-Funktionen und die kleinste Primzahl in einer arithmetischen Progression [The zeros of Dirichlet L-functions and the least prime in an arithmetic progression] (Dissertation for the degree of Doctor of Mathematics and Natural Sciences) [нем.]. Bonn: Universität Bonn, Mathematisches Institut. MR 3086819.