WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов утверждает, что

Доказательство теоремы предоставляет собой алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа ${\displaystyle N}$ с помощью ${\displaystyle O(N^{2}\log _{2}{N})}$ арифметических операций^[1].

Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов^[2].

Теорема является решением проблемы Варинга для степени ${\displaystyle n=2}$ . Поскольку числа вида ${\displaystyle 4^{m}(8n+7),\;m,\;n=0,\;1,\;2,\;\ldots }$ не представимы суммой трёх квадратов^[3], то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди ${\displaystyle G(2)=4}$ .

Примеры

${\displaystyle {\begin{aligned}3&=1^{2}+1^{2}+1^{2}+0^{2}\\31&=5^{2}+2^{2}+1^{2}+1^{2}\\310&=17^{2}+4^{2}+2^{2}+1^{2}.\end{aligned}}}$

История

Утверждение теоремы впервые появилось в Арифметике Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы^[3] и много сделал лично для Лагранжа. Однако Лагранж опередил Эйлера и доказал теорему в 1770 году.

Примечания

Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её.