WikiSort.ru - Не сортированное

В математике структурой инцидентности называется тройка

${\displaystyle C=(P,L,I).}$

где P — это множество «точек», L — множество «линий», а ${\displaystyle I\subseteq P\times L}$  — отношение инцидентности. Элементы ${\displaystyle I}$ называются флагами. Если

${\displaystyle (p,l)\in I}$ ,

мы говорим, что точка p «лежит на» линии ${\displaystyle l}$ . Можно представить L как множество подмножеств P, и инцидентностью I будет включение (${\displaystyle (p,l)\in I}$ в том и только в том случае, когда ${\displaystyle p\in l}$ ), но можно думать более абстрактно.

Структуры инцидентности обобщают плоскости (такие как аффинные^[en], проективные и плоскости Мёбиуса), как можно видеть из аксиоматических определений этих плоскостей. Структуры инцидентности также обобщают геометрические структуры более высокой размерности; при этом конечные структуры иногда называют конечными геометриями.

Сравнение с другими структурами

Изображение структуры инцидентности может выглядеть как граф, но в графах ребро имеет только две конечные точки, в то время как линия в структуре инцидентности может быть инцидентна более чем двум точкам. Таким образом, структуры инцидентности являются гиперграфами.

В структуре инцидентности нет понятия точки, лежащей между двумя другими точками. Порядок точек на линии не определён. Сравните с упорядоченной геометрией^[en], которая имеет отношение «лежит между».

Двойственная структура

Если обменять роли «точек» и «линий» в структуре инцидентности

C = (P,L,I),

получится двойственная структура

C* = (L,P,I*),

где I* — бинарное отношение, обратное^[en] к I. Ясно, что

C** = C.

Эта операция является абстрактной версией проективной двойственности.

Структура C, изоморфная своей двойственной структуре C* называется самодвойственной.

Соответствие гиперграфам

Каждый гиперграф или систему множеств^[en] можно рассматривать как структуру инцидентности, в которой универсальное множество играет роль «точек», соответствующая система множеств играет роль «линий», а отношение инциденции — это принадлежность «∈». Обратно, любую структуру инциденций можно рассматривать как гиперграф.

Геометрическое представление

Структуру инцидентности можно моделировать с помощью точек и кривых в евклидовой геометрии со стандартным геометрическим включением в качестве отношения инцидентности. Некоторые структуры инцидентности допускают представление с помощью точек и прямых, однако, например, поверхность Фано не имеет такого представления.

Граф Леви структуры инцидентности

Любая структура инцидентности C соответствует двудольному графу, называемому графом Леви, или графом инцидентности структуры. Поскольку любой двудольный граф можно раскрасить в два цвета, вершины графа Леви можно раскрасить в белые и чёрные цвета, где чёрные вершины соответствуют точкам и белые вершины соответствуют линиям C. Рёбра этого графа соответствуют флагам (инцидентным парам точка/линия) структуры инцидентности.

См. также

• Конечная геометрия
• Бинарное отношение
• Комбинаторная схема
• Матрица инцидентности
• Инцидентность (геометрия)
• Конфигурация Паппа
• Проективная конфигурация
• Многодольный граф

Ссылки

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.