WikiSort.ru - Не сортированное

Равностепенная непрерывность — свойство семейства непрерывных функций.

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ , ${\displaystyle Y}$  — компактные метрические пространства и ${\displaystyle C(X,\;Y)}$  — множество непрерывных отображений ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ . Множество ${\displaystyle D\subset }$ ${\displaystyle C(X,\;Y)}$ называется равностепенно непрерывным, если для любого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ существует такое ${\displaystyle \delta >0}$ , что из ${\displaystyle d_{X}(x,\;y)<\delta }$ вытекает ${\displaystyle d_{Y}(f(x),\;f(y))<\varepsilon }$ для любой ${\displaystyle f\in D}$ .

Свойства

• По теореме Арцела — Асколи, равностепенная непрерывность ${\displaystyle D}$ эквивалентна относительной компактности ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle C(X,\;Y)}$ , наделенном метрикой

  ${\displaystyle \rho (f,\;g)=\max _{x\in X}d_{Y}(f(x),\;g(x)).}$

Вариации и обобщения

Понятие равностепенной непрерывности переносится на топологические пространства.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Эдвардс Р., Функциональный анализ, пер. с англ., IT., 1969.