WikiSort.ru - Не сортированное

В математике произведение Адамара^[1] (также известное как произведение Шура^[2], или покомпонентное произведение) — бинарная операция над двумя матрицами одинаковой размерности, результатом которой является матрица той же размерности, в которой каждый элемент с индексами i, j — это произведение элементов с индексами i, j исходных матриц. Операция названа в честь французского математика Жака Адамара и немецкого математика Исаия Шура.

Произведение Адамара является ассоциативной и дистрибутивной операцией и, в отличие от обычного произведения матриц, коммутативно.

Определение

Для двух матриц ${\displaystyle A,B}$ которые имеют одинаковую размерность ${\displaystyle m\times n}$ произведение Адамара обозначается как ${\displaystyle A\circ B}$ и определено как покомпонентное произведение двух матриц:

${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j}}$

Для двух матриц, которые имеют разные размерности, произведение Адамара не определено.

Пример

Пример использования произведения Адамара двух матриц A и B размерностью 2x3

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}\mathrm {a} _{11}&\mathrm {a} _{12}&\mathrm {a} _{13}\\\mathrm {a} _{21}&\mathrm {a} _{22}&\mathrm {a} _{23}\\\end{array}}\right)\circ \left({\begin{array}{ccc}\mathrm {b} _{11}&\mathrm {b} _{12}&\mathrm {b} _{13}\\\mathrm {b} _{21}&\mathrm {b} _{22}&\mathrm {b} _{23}\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}\mathrm {a} _{11}\,*\mathrm {b} _{11}\ &\mathrm {a} _{12}\,*\mathrm {b} _{12}&\mathrm {a} _{13}\,*\mathrm {b} _{13}\\\mathrm {a} _{21}\,*\mathrm {b} _{21}&\mathrm {a} _{22}\,*\mathrm {b} _{22}&\mathrm {a} _{23}\,*\mathrm {b} _{23}\\\end{array}}\right)}$

Свойства

Произведение Адамара коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно:

${\displaystyle A\circ B=B\circ A,}$

${\displaystyle A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C}$

${\displaystyle A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C.}$

Использование

Произведение Адамара используется в алгоритмах сжатия с потерями, например, JPEG.

В программных пакетах MATLAB и GNU Octave данная операция используется как стандартная операция умножения массивов и обозначается символом «.*».^[3]

Операция произведения над векторными типами данных в GPGPU технологиях программирования также реализована по принципу произведения Адамара. Другие примитивные математические операции над векторными типами данных реализованы как покомпонентные операции над их компонентами.

Ссылки